Теория вероятностей и ее приложения

На лекциях будут даны базовые математические инструменты анализа реальных жизненных ситуаций и процессов, которые можно закрепить, выполнив практические задания.

В рамках курса будут изучены:

• понятия дискретного и непрерывного вероятностного пространства;
• независимость, условная вероятность и связанные с ними формулы (в том числе формула полной вероятности, формула Байеса и т. д.);
• случайная величина и её свойства;
• плотность случайной величины, одномерная и многомерная функция распределения;
• условное распределение случайных величин и способы анализа совместного распределения;
• математическое ожидание, причем особое внимание будет уделено условному математическому ожиданию;
• базовые способы анализа больших отклонений;
• дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции и их геометрическая интерпретация;
• закон больших чисел и центральная предельная теорема.

Приоритетом при составлении курса являлось формирование глубокого понимания используемых в анализе данных вероятностных инструментов. Поэтому все понятия будут подробно рассмотрены с разных сторон, обоснованы и тщательно разобраны в решаемых задачах. Большое количество примеров в курсе тоже служит для этой цели — не просто узнать, а научиться использовать изученную технику.

Этот курс является частью специализации Математика для анализа данных.

Курс проходит на внутренней платформе НИУ ВШЭ. 

Курс длится 5 недель. Каждая неделя содержит видеолекции, тестовые задания и материалы для самостоятельного изучения. В конце курса вас ждет прикладной проект.

1. Классическая и дискретная вероятность

Изучение теории вероятностей мы начнем с естественного вопроса: как мы понимаем, что такое вероятность? На первой неделе мы будем понимать вероятность как частоту, с которой наступает то или иное событие. Для формирования понимания основных принципов вероятности и быстрого старта нам пригодится мощный инструмент — понятие дерева событий. Сначала мы будем использовать его без строгого обоснования, но понимая принцип действия. 

На второй неделе мы обоснуем дерево событий, используя более развитую технику. Без промедления мы введем самое часто используемое понятие теории вероятностей — случайную величину. Это понятие мы сразу используем для работы со стандартной моделью — схемой Бернулли. Завершает неделю распределение Пуассона, которое самым тесным образом связано со схемой Бернулли. Распределение Пуассона используется для описания потока запросов систем массового обслуживания. Так что уже в конце первой недели у Вас будет богатый набор примеров применения вероятностных моделей на практике.

2. Условная вероятность и независимость

 С понятием «условная вероятность»будет связан материал второй недели. Мы будем изучать, как события взаимосвязаны. Чтобы использовать информацию о взаимосвязи событий используют теоремы умножения и формулу полной вероятности, которые будут сформулированы в середине недели. Непрерывная случайная величина

До этого момента мы еще не рассматривали вероятностные пространства, в которых каждый отдельный исход имеет нулевую вероятность. На этой неделе мы узнаем, как можно определить и применять непрерывные случайные величины. Теоретическим фундаментом нам будет служить аксиоматика А. Н. Колмогорова — великого математика и основателя современной теории вероятностей.

3. Математическое ожидание

Большинство объектов, которые необходимо проанализировать, описываются случайной величиной. Но как оценить саму случайную величину? Одной из важнейших числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Более того оказывается, что в некоторых ситуациях знание математического ожидания позволяет оценить значения случайной величины и сделать крайне полезные наблюдения. Именно этому разделу науки будет посвящена третья часть наших занятий. 

4. Дисперсия и ковариация

Узнаем о значении дисперсии случайной величины, которая позволяет провести гораздо более точный анализ ситуации. Кроме того, мы узнаем, какие методы позволяют оценить зависимость между случайными величинами. 

• Формирование глубокого понимания используемых в анализе данных вероятностных инструментов
• Использование математических инструментов для анализа реальных жизненных процессов