Аналитическая геометрия

Основными задачами данного курса являются:

– формирование у обучающихся базовых знаний по аналитической геометрии;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями; 

– формирование умений и навыков применять полученные знания для решения геометрических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.

Для бесплатного просмотра доступны только видеолекции и тренировочные задания. Тесты на проверку откроются после оплаты сертификации. Стоимость сертификации составляет 3600 рублей.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

В состав курса входят видеолекции на русском языке продолжительностью 5-15 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература:

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. СПб. : Лань, 2020. – 912 с. 

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 17-е изд., испр.СПб. : Лань, 2020. – 448 с. 

3. Ильин В.А., Позняк Э.Т. Аналитическая геометрия. – М. : Физматлит, 2019. – 224 с. 

Дополнительная литература: 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 1, 2, 3. – М. : Дрофа, 2007. 

2. Геворкян П.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М. : Физматлит, 2007. 

3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии : учебное пособие для втузов. – СПб. : «Специальная Литература», 1998. – 204 с. 

4. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961. – 296 с. 

Интернет-источники

1. http://www.exponenta.ru – образовательный математический сайт.

2. http://mathnet.ru – общероссийский математический портал.

3. http://benran.ru –библиотека по естественным наукам Российской академии наук. 

4. http://www.i-exam.ru – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.

5. http://www.edu.ru – федеральный портал «Российское образование». 

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом алгебры и геометрии.

Курс состоит из 12 учебных недель и одной экзаменационной

Неделя 1. Матрицы

01.00 Введение

01.01 Определение матрицы

01.02 Операции с матрицами

         01.02.01 Задача. Вычисление линейной комбинации матриц

         01.02.02 Задача. Нахождение транспонированной матрицы

01.03 Произведение матриц. Часть 1

01.04 Произведение матриц. Часть 2

        01.04.01 Задача. Вычисление произведения матриц

        01.04.02 Задача. Проверка существования произведения и его вычисление 

      01.04.03 Задача. Вычисление матрицы в n-й степени. Пример 1

         01.04.04 Задача. Вычисление матрицы в n-й степени. Пример 2

         01.04.05 Задача. Вычисление матричного многочлена

         01.04.06 Задача. Проверка справедливости матричного равенства

         01.04.07 Задача. Вычисление матрицы в числовой степени

01.05 Определитель матриц

        01.05.01 Задача. Вычисление определителя матрицы

01.06 Правило Крамера

        01.06.01 Задача. Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Неделя 2. Векторы

02.01 Определение направленного отрезка, вектора

02.02 Повторение из курса школьной геометрии 

       02.02.01 Задача. Доказательство неравенства для четырехугольника в пространстве

       02.02.02 Задача. Доказательство равенства для n-угольника

02.03 Линейная комбинация векторов

02.04 Линейная зависимость и независимость векторов 

02.05 Критерий линейной зависимости системы векторов

02.06 Базис

       02.06.01 Задача. Нахождение координат вектора

       02.06.02 Задача. Нахождение координат параллелепипеда через векторы

02.07 Замена базиса

      02.07.01 Задача. Нахождение координат точки призмы в новой системе координат

      02.07.02 Задача. Нахождение координат точки параллелограмма в новой системе координат

02.08 Декартова система координат (ДСК)

       02.08.01 Задача. Проверка, что векторы образуют базис

02.09 Замена ОДСК

      02.09.01 Задача. Нахождение координат начала координат и базисных векторов в новой и старой системах координат

      02.09.02 Задача. Нахождение координат вектора в новом базисе через координаты в старом

Неделя 3. Произведение векторов

03.01 Скалярное произведение векторов

03.02 Проекция вектора на ненулевой вектор

03.03 Свойства скалярного произведения векторов. Часть 1

03.04 Свойства скалярного произведения векторов. Часть 2

       03.04.01 Задача. Нахождение длин сторон и углов параллелограмма через базисные векторы

       03.04.02 Задача. Нахождение ортогональной проекции вектора на прямую

03.05 Ориентация базисов. Ориентированные объёмы и площади

03.06 Смешанное произведение векторов. Часть1

03.07 Смешанное произведение векторов. Часть2      

03.08 Векторное произведение векторов. Часть 1

03.09 Векторное произведение векторов. Часть 2

       03.09.01 Задача. Доказательство компланарности векторов

       03.09.02 Задача. Нахождение площади треугольника по координатам векторов

       03.09.03 Задача. Доказательство равенства для неколлинеарных векторов

       03.09.04 Задача. Нахождение объема тетраэдра и его высоты

03.10 Двойное векторное произведение

       03.10.1 Задача. Доказательство тождества

03.11 Взаимный базис

Неделя 4. Часть 1. Плоскость в пространстве

04.01 Определение плоскости в пространстве

04.02 Различные формы записи уравнения плоскости

04.03 Общее уравнение плоскости

       04.03.01 Задача. Уравнение плоскости

Неделя 4. Часть 2. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве

04.04 Прямая на плоскости

       04.04.01 Задача. Нахождение радиус-вектора точки

       04.04.02 Задача. Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости

04.05 Общее уравнение прямой на плоскости. Прямая в пространстве

        04.05.01 Задача. Нахождение радиус-вектора точки пересечения прямых

        04.05.02 Задача. Уравнение прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые

        04.05.03 Задача. Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной другой прямой   

        04.05.04 Задача. Условие пересечения прямой и плоскости

04.06 Взаимное расположение прямых и плоскостей

     04.06.01 Задача. Уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной двум прямым

        04.06.02 Задача. Уравнение плоскости, проходящей через одну прямую и параллельной другой прямой

04.07 Прямая и плоскость в ПДСК

        04.07.01 Задача. Уравнение прямых, проходящих через одну точку и равноудаленных от двух других точек

        04.07.02 Задача. Уравнение биссектрисы угла между прямыми

04.08 Некоторые метрические задачи в ПДСК. Часть 1

        04.08.01 Задача. Уравнение прямых, параллельных другой прямой и отстоящих от точки на некотором расстоянии

        04.08.02 Задача. Общее уравнение плоскости, проходящей через некоторые точку и прямую. Расстояние от этой плоскости до заданной точки

04.09 Некоторые метрические задачи в ПДСК. Часть 2

        04.09.01 Задача. Расстояние между прямыми

Неделя 5. Алгебраические линии второго порядка на плоскости

05.01 Определение алгебраических линий и поверхности

05.02 Линии второго порядка на плоскости. Уравнение эллипса

05.03 Уравнение мнимого эллипса, пары мнимых пересекающихся прямых, гиперболы, пары пересекающихся прямых

05.04 Уравнение параболы, пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых, пары совпавших прямых

05.05 Центр линии. Линии эллиптического и гиперболического типа

       05.05.01 Задача. Тип кривой второго порядка, заданной некоторым уравнением. Каноническое уравнение кривой и каноническая система координат. Пример 1

       05.05.02 Задача. Тип кривой второго порядка, заданной некоторым уравнением. Каноническое уравнение кривой и каноническая система координат. Пример 2

       05.05.03 Задача. Тип кривой второго порядка, заданной некоторым уравнением. Каноническое уравнение кривой и каноническая система координат. Пример 3

Неделя 6. Изучение свойств эллипса, гиперболы и параболы

06.01 Эллипс

      06.01.01 Задача. Каноническое уравнение эллипса

06.02 Свойства эллипса

06.03 Уравнение касательной к эллипсу

      06.03.01 Задача. Уравнение касательных к эллипсу

      06.03.02 Задача. Угол между касательной и осью Ох

06.04 Гипербола

       06.04.01 Задача. Эксцентриситет гиперболы

06.05 Геометрические свойства гиперболы

       06.05.01 Задача. Доказательство постоянства произведения расстояния от любой точки гиперболы до её асимптот

06.06 Парабола

       06.06.01 Задача. Уравнение параболы

       06.06.02 Задача. Уравнения касательных к параболе

06.07 Эллипс, гипербола и парабола в полярной системе координат

Неделя 7. Поверхность второго порядка

07.01 Поверхность вращения

07.02 Эллипсоид

07.03 Конус второго порядка

07.04 Однополостный гиперболоид

07.05 Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида

07.06 Двуполостный гиперболоид, эллиптический и гиперболический параболоид

       07.06.01 Задача. Определение типа поверхности

       07.06.02 Задача. Общие точки прямой и поверхности второго порядка

       07.06.03 Задача. Параметрические уравнения прямолинейных образующих заданной поверхности

       07.06.04 Задача. Тип поверхности, образованной вращением прямой

Неделя 8. Отображения и преобразования

08.01 Определение отображения и преобразования

08.02 Взаимно однозначное отображение. Произведение отображений

08.03 Свойства произведения преобразований плоскости. Координатная запись отображений

08.04 Ортогональные преобразования плоскости

08.05 Линейные и аффинные преобразования

08.06 Образ вектора при линейном преобразовании. Часть 1

08.07 Образ вектора при линейном преобразовании. Часть 2

08.08 Геометрические свойства аффинных преобразований

       08.08.01 Задача. Симметрия относительно прямой

       08.08.02 Задача. Аффинное преобразование плоскости, переводящее заданные прямые в себя, а заданную точку в некоторую другую точку

08.09 Изменение площадей при аффинном преобразовании

08.10 Образы линий второго порядка при аффинном преобразовании

       08.10.01 Задача. Тип кривой второго порядка

       08.10.02 Задача. Доказательство равенства сумм площадей треугольников

08.11 Разложение аффинного преобразования

       08.11.01 Задача. Представление заданного аффинного преобразования в виде произведений трех преобразований

Неделя 9. Определители матриц n-го порядка

09.01 Детерминанты

       09.01.01 Задача. Определитель порядка n. Пример 1

       09.01.02 Задача. Определитель порядка n. Пример 2

09.02 Свойства детерминанта. Часть 1

09.03 Свойства детерминанта. Часть 2

09.04 Свойства детерминанта. Часть 3

       09.04.01 Задача. Определитель Вандермонда

       09.04.02 Задача. Определитель порядка 2n

09.05 Формула полного развертывания детерминанта

       09.05.01 Задача. Формула полного разложения для матрицы пятого порядка

09.06 СЛАУ в специальном случае

09.07 Правило Крамера в общем случае

Неделя 10. Ранг матрицы

10.01 Миноры произвольного порядка

10.02 Ранг матрицы

       10.02.01 Задача. Ранг и базисная система столбцов матрицы

       10.02.02 Задача. Оценка ранга матрицы порядка n

       10.02.03 Задача. Доказательство неравенства рангов для любых матриц одинаковых размеров

       10.02.04 Задача. Отличие от нуля минора порядка r матрицы ранга r

       10.02.05 Задача. Оценка ранга матрицы

10.03 Приведение матрицы к упрощенному виду

10.04 Метод Гаусса

10.05 Теорема о базисном миноре

       10.05.01 Задача. Представление матрицы через произведение матриц

10.06 Теорема о ранге матрицы

       10.06.01 Задача. Оценка сверху ранга произведения двух матриц

       10.06.02 Задача. Доказательство равенства ранга матрицы наибольшему порядку её миноров

Неделя 11. Обратная матрица

11.01 Определение обратной матрицы

11.02 Выражение элементов обратной матрицы через элементы исходной матрицы

 11.02.01 Задача. Вычисление обратной матрицы. Пример 1

       11.02.02 Задача. Нахождение обратной матрицы. Пример 2

11.03 Свойства обратной матрицы

        11.03.01 Задача. Проверка справедливости тождества для матриц

11.04 Другое доказательство существования обратной матрицы у невырожденной квадратной матрицы

11.05 Характеристический многочлен матрицы

       11.05.01 Задача. Обратная матрица

11.06 Теорема Гамильтона-Кэли

11.07 Элементарные преобразования, как умножение матриц

       11.07.01 Задача. Вычисление обратной матрицы через элементарные преобразования. Пример 1

       11.07.02 Задача. Нахождение обратной матрицы. Пример 2

Неделя 12. Общая теория линейных систем

12.01 Теорема Кронекера-Капелли

12.02 Теорема Фредгольма

12.03 Общее решение неоднородной СЛАУ

12.04 Фундаментальная матрица однородной СЛАУ. Часть 1

12.05 Фундаментальная матрица однородной СЛАУ. Часть 2

       12.05.01 Задача. Фундаментальная матрица СЛАУ

       12.05.02 Задача. Проверка фундаментальной матрицы СЛАУ

       12.05.03 Задача. Решение СЛАУ

       12.05.04 Задача. Общий вид произвольной фундаментальной матрицы СЛАУ

       12.05.05 Задача. Условие эквивалентности СЛАУ

12.06 Общее решение неоднородной СЛАУ

       12.06.01 Задача. Решение СЛАУ

       12.06.02 Задача. Совместность неоднородных СЛАУ

Неделя 13. Итоговая аттестация

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 - способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способностью определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:  

ОПК-1 - способностью применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 - способностью использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 - способностью осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

В результате освоения курса обучающиеся должны знать:
– основные определения векторной алгебры; 
– виды систем координат, способы перехода от одной системы координат к другой; 
– скалярное, векторное, смешанное произведения; 
– определение алгебраической линии; 
– уравнения прямой на плоскости и в пространстве, уравнения плоскости в пространстве;
 – канонические уравнения кривых второго порядка;
 – канонические уравнения поверхностей второго порядка.

В результате освоения курса обучающиеся должны уметь: 
– решать простейшие задачи аналитической геометрии методом координат; 
– использовать векторную алгебру для решения задач;
 – использовать различные виды уравнений прямых и плоскостей для решения задач;
 – определять вид кривых и поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям и рисовать эскизы их графиков;
 – исследовать свойства геометрических объектов по заданному уравнению.

В результате освоения курса обучающиеся должны владеть: 
– математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов.