Дифференциальные уравнения: простейшие типы, линейные уравнения и системы, задачи Коши

Основными задачами данного курса являются:

– формирование умений и навыков решения дифференциальных уравнения первого порядка разрешенных относительно производной основных типов, решения линейных дифференциальных уравнений старших порядков с постоянными коэффициентами, решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;

– формирование умений и навыков применять полученные знания для описания процессов и явлений в различных областях знаний, самостоятельного анализа полученных результатов.

Для бесплатного просмотра доступны только видеолекции и тренировочные задания. Тесты на проверку откроются после оплаты сертификации. Стоимость сертификации составляет 3600 рублей.

В состав курса входят видео-лекции на русском языке продолжительностью 5-25 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература

1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –Изд. 6, стереот., М: URSS, 2019, 336 с.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. – СПб: Ленанд, 2015, - 240 с.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, - Изд. 11, испр., обновл. – М.: URSS, 2016, - 512 с.
4. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М.: Лаборатория знаний, 2020, - 349 с.
5. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: URSS, 2017 – 448 c.
6. Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: МФТИ, 2021 – 323 с.

Дополнительная литература

1. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – Москва: Физматгиз, 1961
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – УрСС, 2003; - Москва: Физматлит, 2009
3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – Москва: Физматгиз, 1985
4. Купцов Л. П., Николаев В. С. Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие. – Москва: МФТИ, 2003
5. Ипатова В. М., Пыркова О. А., Седов В. Н. Дифференциальные уравнения. Методы решений. – Москва: МФТИ, 2007, 2012

Интернет-источники

1. http://www.exponenta.ru  – образовательный математический сайт.
2. http://mathnet.ru  – общероссийский математический портал.
3. http://www.edu.ru  – федеральный портал «Российское образование».
4. http://benran.ru  – библиотека по естественным наукам Российской академии наук.
5. http://www.i-exam.ru  – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.
6. http://bookfi.org/book/791964
7. http://www.umnov.ru
8. http://techlibrary.ru/bookpage.htm

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом дисциплин:

• Алгебра
• Геометрия 
• И вузовскими дисциплинами:
• Основы математического анализа
• Линейная алгебра

Курс состоит из 12 недель

Неделя 1. Основные понятия. Простейшие ДУ

01.01 Основные понятия. Простейшие типы ДУ

01.02 ОДУ 1-го порядка

01.03 ОДУ 1-го порядка. Геометрический смысл ОДУ. Метод Изоклин

Неделя 2. Простейшие ДУ: ОДУ 1 порядка, интегрируемые в конечном виде, ОДУ в дифференциалах. Задача Коши

02.01 ОДУ 1-го порядка, интегрируемые в конечном виде

02.02 ОДУ в дифференциалах (в симметричной форме).1 часть

02.03 ОДУ в дифференциалах (в симметричной форме). 2 часть

02.04 Задача Коши. Часть 1

02.05 Задача Коши. Часть 2

Неделя 3. Простейшие ДУ: линейные, приводимые к однородным ДУ или с разделяющимися переменными

03.01 ЛОДУ n-го порядка

03.02 ЛОДУ 1-го порядка

03.03 Метод вариации постоянного ЛОДУ 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати

03.04 ОДУ, приводимые к ОДУ с разделяющимися переменными. Геометические свойства интегральных кривых

03.05 ОДУ, приводимые к однородным ОДУ или ОДУ с разделяющимися переменными

03.06 Обобщенно однородные ОДУ

Неделя 4. Простейшие ДУ. Методы понижения порядка ДУ

04.01 В ОДУ не входит (явно) искомая функция

04.02 В ДУ не входит (явно) независимое переменное

04.03 ДУ однородные относительно искомой функции и ее производных

04.04 В ОДУ не входит (явно) искомая функция. ОДУ однородные в обобщенном смысле

04.05 Пример для ОДУ однородного в обобщённом смысле

Неделя 5. ОДУ, не разрешенные относительно производной

05.01 Геометрическая интерпретация

05.02 Методы решения

05.03 Частные случаи

05.04 Особые решения. Часть 1

05.05 Особые решения. Часть 2

05.06 Уравнения Лагранжа. Уравнение Клеро

Неделя 6. Линейные ОДУ n-го порядка

с постоянными коэффициентами

06.01 Общая теория. Часть 1

06.02 Общая теория. Часть 2

06.03 Алгоритм построения решения. Метод Лагранжа

06.04 Однородные ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 1

06.05 Однородные ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 2

06.06 Выделение вещественных решений

06.07 Неоднородные ЛОДУ с постоянными коэффициентами

06.08 Уравнение Эйлера

Неделя 7. Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 1

07.01 Общая теория ЛСОДУ. Часть 1

07.02 Общая теория ЛСОДУ. Часть 2

07.03 Метод вариации постоянных для СЛОДУ. Метод исключений

Неделя 8. Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Часть 2

08.01 Случай простых корней характеристического уравнения

08.02 Случай кратных корней характеристического уравнения. Часть 1

08.03 Случай кратных корней характеристического уравнения. Часть 2

08.04 Неоднородные СЛОДУ с постоянными коэффициентами

08.05 Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Примеры

Неделя 9. Матричная экспонента

09.01 Понятие матричной экспоненты. Часть 1

09.02 Понятие матричной экспоненты. Часть 2

09.03 Матричная экспонента. Свойства. Часть 1

09.04 Матричная экспонента. Свойства. Часть 2

09.05 Решение СЛОДУ

Неделя 10. Операционный метод Лапласа

10.01 Операционный метод преобразования Лапласа

10.02 Операционный метод преобразования Лапласа. Свойства. Часть 1

10.03 Операционный метод преобразования Лапласа. Свойства. Часть 2

Неделя 11. Исследование задачи Коши

11.01 Исследование задачи Коши. Часть 1

11.02 Исследование задачи Коши. Часть 2

11.03 Исследование задачи Коши. Часть 3

11.04 Доказательство теоремы существования и единственности. Часть 1

11.05 Доказательство теоремы существования и единственности. Часть 2

11.06 Доказательство теоремы существования и единственности. Часть 3

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 - способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способностью определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:  

ОПК-1 - способностью применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 - способностью использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 - способностью осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

В результате освоения курса обучающиеся должны знать:

– основные понятия общей теории дифференциальных уравнений первого порядка (решение и множество решений ДУ, начальные условия ДУ, задача Коши);

– базовые типы дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах) и методы их решения;

– основные понятия теории линейных дифференциальных уравнений старших порядков с постоянными коэффициентами (базис пространства решений или фундаментальная система решений, линейная независимость решений, общее и частное решение, характеристический многочлен, метод вариации постоянных) и методы их решения;

– различные формулировки теорем, гарантирующих существование и единственность решения задачи Коши;

– основные понятия теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и методы их решения.

В результате освоения курса обучающиеся должны уметь:

– решать дифференциальные уравнения и их системы различных типов;

– использовать знание основ дифференциальных уравнений для перевода информации с естественного языка на язык математики и обратно;

 – применять теоретические знания по дифференциальным уравнениям в описании процессов и явлений в различных областях знания.

В результате освоения курса обучающиеся должны владеть:

– навыками составления дифференциальных уравнений в задачах моделирования различных процессов.