Дифференциальные уравнения: продолжимость решений, линейные уравнения II-го порядка с переменным коэффициентами, элементы вариационного исчисления

Основными задачами данного курса являются:

– формирование умений и навыков аналитического исследования области существования задачи Коши, решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, исследования устойчивости положений равновесия автономных систем, решения уравнений в частных производных первого порядка, решения вариационных задач;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;

– формирование умений и навыков применять полученные знания для описания процессов и явлений в различных областях знаний, самостоятельного анализа полученных результатов.

Для бесплатного просмотра доступны только часть материалов. Полный доступ будет открыт только после оплаты курса. Стоимость курса составляет 3600 рублей.

В состав курса входят видео-лекции на русском языке продолжительностью 5-25 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература

1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –Изд. 6, стереот., М: URSS, 2019, 336 с.
2. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. – СПб: Ленанд, 2015, - 240 с.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, - Изд. 11, испр., обновл. – М.: URSS, 2016, - 512 с.
4. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М.: Лаборатория знаний, 2020, - 349 с.
5. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: URSS, 2017 – 448 c.
6. Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: МФТИ, 2021 – 323 с.

Дополнительная литература

1. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – Москва: Физматгиз, 1961
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – УрСС, 2003; - Москва: Физматлит, 2009
3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. – Москва: Физматгиз, 1985
4. Купцов Л. П., Николаев В. С. Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие. – Москва: МФТИ, 2003
5. Ипатова В. М., Пыркова О. А., Седов В. Н. Дифференциальные уравнения. Методы решений. – Москва: МФТИ, 2007, 2012

Интернет-источники

1. http://www.exponenta.ru  – образовательный математический сайт.
2. http://mathnet.ru  – общероссийский математический портал.
3. http://www.edu.ru  – федеральный портал «Российское образование».
4. http://benran.ru  –библиотека по естественным наукам Российской академии наук.
5. http://www.i-exam.ru  – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.
6. http://bookfi.org/book/791964
7. http://www.umnov.ru
8. http://techlibrary.ru/bookpage.htm

Курс состоит из 10 недель

Неделя 1. Исследование задачи Коши. О продолжимости решений

01.01 Основные определения

01.02 Теорема о продолжении решений до границы ограниченной области

01.03 Теорема о продолжении решений до границы ограниченной области (продолжение)

01.04 Исследование задачи Коши. О продолжимости решений

Неделя 2. Исследование задачи Коши

02.01 Зависимость решений задачи Коши от параметров и начальных данных

02.02 Задача Коши для ОДУ 1-го порядка, не разрешенного относительно производной

02.03 Задача Коши для ОДУ 1-го порядка, не разрешенного относительно производной. Пример

Неделя 3. Линейные ДУ и системы линейных ДУ с переменными коэффициентами

03.01 Линейные ДУ и системы ДУ с переменными коэффициентами

03.02 Формула Лиувилля-Остроградского

03.03 Применение формулы Лиувилля-Остроградского

03.04 ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами

03.05 ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. О нулях решения

03.06 ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Теорема Штурма - сравнения

03.07 ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Следствия теоремы Штурма

Неделя 4. Нормальные автономные системы ОДУ

04.01 Нормальные автономные системы ОДУ (НАСОДУ). Основные понятия и определения

04.02 Простейшие свойства фазовых траекторий АСОДУ. Свойства 1-2

04.03 Простейшие свойства фазовых траекторий АСОДУ. Свойства 3-6

04.04 НАСОДУ. Устойчивость положений равновесия

04.05 НАСОДУ. Первый метод Ляпунова

04.06 НАСОДУ. Второй метод Ляпунова. Функция Ляпунова

04.07 НАСОДУ. Второй метод Ляпунова. Функция Четаева

Неделя 5. Нормальные автономные системы ОДУ. Классификация положений равновесия

05.01 ЛАСОДУ 2-го порядка. Вещественные собственные значения

05.02 ЛАСОДУ 2-го порядка. Собственные значения одного знака

05.03 ЛАСОДУ 2-го порядка. Собственные значения разных знаков

05.04 ЛАСОДУ 2-го порядка. Комплексные собственные значения

05.05 ЛАСОДУ 2-го порядка. Вырожденные случаи

05.06 ЛАСОДУ 2-го порядка. СХЕМА

Неделя 6. Нормальные автономные системы ОДУ.

Первые интегралы

06.01 Первые интегралы

06.02 Первые интегралы. Геометрический смысл

06.03 Первые интегралы. Теорема о выпрямлении траекторий

06.04 Первые интегралы. Количество функционально независимых первых интегралов

06.05 Первые интегралы. Леммы

06.06 Первые интегралы. О числе независимых первых интегралов

Неделя 7. Нормальные автономные системы ОДУ. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

07.01 ДУ с частными производными 1-го порядка. Основные понятия

07.02 ДУ с частными производными 1-го порядка. Общее решение

07.03 ДУ с частными производными 1-го порядка. Об алгоритме решения

07.04 ДУ с частными производными 1-го порядка. Задача Коши

07.05 ДУ с частными производными 1-го порядка. Пример

Неделя 8. Элементы вариационного исчисления

08.01 Определение непрерывного функционала

08.02 Определение дифференцируемого функционала

08.03 Необходимое условия экстремума функционала

08.04 Основная лемма вариационного исчисления

08.05 Простейшая задача вариационного исчисления: постановка задачи

08.06 Простейшая задача вариационного исчисления: уравнение Эйлера

08.07 О решении краевой задачи

08.08 Пример исследования на экстремум

Неделя 9. Элементы вариационного исчисления

09.01 Задача с одним или двумя свободными концами

09.02 Задача с закрепленными концами для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций

09.03 Задача для функционалов, содержащих производные высших порядков

09.04 Функционалы, являющиеся кратными интегралами

09.05 Условный экстремум: изопериметрическая задача

09.06 Принцип взаимности

09.07 Задача Лагранжа. Уравнение Эйлера. Простая поверхность

09.08 Задача Лагранжа. Уравнение Эйлера в общем случае

09.09 Задача Лагранжа. Пример

Неделя 10. Итоговое тестирование

- теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений и для уравнения n-го порядка в нормальном виде; теоремы о продолжении решения; характер зависимости решения задачи Коши от параметров;

- формулу Лиувилля-Остроградского;

- теорему Штурма и следствия из нее;

- свойства решений и фазовых траекторий автономных систем дифференциальных уравнений; классификацию положений равновесия линейных автономных систем второго порядка; характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия двумерных автономных нелинейных систем;

- устойчивость и асимптотическую устойчивость положения равновесия автономной системы; достаточные условия асимптотической устойчивости;

- первые интегралы автономных систем; критерий первого интеграла; теорему о числе независимых первых интегралов;

- формулу общего решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка; постановку задачи Коши; теорему существования и единственностирешения задачи Коши ;

- основные понятия вариационного исчисления; простейшую задачу вариационного исчисления; задачу со свободными концами; задачу для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций; задачу для функционалов, содержащих производные высших порядков; условный экстремум: изопериметрическую задачу, задачу Лагранжа

– ориентироваться в поставленных задачах;

– решать дифференциальные уравнения и их системы различных типов;

– использовать знание основ дифференциальных уравнений для перевода информации с естественного языка на язык математики и обратно;

 – применять теоретические знания по дифференциальным уравнениям в описании процессов и явлений в различных областях знания

Владеть

– методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач;

- методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических и практических задач