Высшая математика. Линейная алгебра и элементы топологии

Этот курс логически является второй частью двойного авторского курса Алексея Савватеева "Высшая математика для всех". Здесь излагаются основные понятия и задачи линейной линейной алгебры: линейное пространство, базис и размерность, линейные операторы, матрицы, решение систем линейных уравнений, построение жордановой нормальной формы, исследование квадратичных форм. Также рассматриваются смежные вопросы, относящиеся к топологии и динамическим системам: принцип сжимающих отображений, исследование дифференциальных уравнений, компактность и теорема Брауэра. Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Одной из сюжетных линий, продолжающей основной сюжет первой части курса, является построение экспоненты от линейного оператора. Другие сюжетные линии: форма горной поверхности, неподвижные точки отображений. В связи с этими вопросами оказываются задействованы основные инструменты линейной алгебры, анализа и смежных дисциплин, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

Для бесплатного просмотра доступны только часть материалов курса. Полный доступ откроется только после оплаты сертификации. Стоимость сертификации составляет 3600 рублей.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

Курс включает 16 недель лекционных и семинарских занятий. На лекциях излагаются основные идеи, примеры, сюжеты, теория. На семинарах − более технические вопросы и задачи, иллюстрирующие использование методов. В конце каждой недели слушателям предлагаются контрольные задачи, а по окончании всех недель − проверочный экзамен. В основном задачи ориентированы на проверку понимания материалов лекций и семинаров, но есть и более сложные задания, требующие самостоятельной работы.

Этот курс является логическим продолжением первой части двойного курса "Высшая математика для всех" − "Математический анализ". По замыслу автора эти две части − математический анализ и линейная алгебра − должны восприниматься слушателями как единое целое. Перед изучением второй части курса очень желательно быть знакомым с первой частью.

1. Многочлены и линейная алгебра. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Базисы и размерность пространства многочленов. Множественность решений системы линейных уравнений. Размерность линейного пространства.
2. Линейные операторы: определение и задание с помощью матрицы. Композиция линейных операторов. Экспонента от линейного оператора. Норма линейного оператора и сходимость ряда экспоненты.
3. Многомерный анализ и линейная алгебра. Примеры: задача о теплопроводности, задача о маятнике. Линеаризация систем дифференциальных уравнений.
4. Матрицы и системы линейных уравнений. Перемножение и обращение матриц. Невырожденность и определитель. Алгебраические дополнения и вычисление обратной матрицы. Матрица линейного оператора в новом базисе. Приложение: кубические интерполяционные сплайны.
5. Анатомия линейного оператора: диагонализация и жорданова нормальная форма. Экспонента от матрицы и линейные динамические системы.
6. Квадратичные формы и их матричная запись. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Приведение к каноническому виду ортогональным преобразованием.
7. Метрические пространства. Принцип сжимающих отображений. Его приложение к теории дифференциальных уравнений (доказательство существования и единственности решения).
8. Компактность на прямой и в многомерном пространстве. Непрерывный образ компакта.
9. Векторные поля и их приложения: основная теорема алгебры и теорема Брауэра.