Введение в математический анализ для поступающих в магистратуру

Математический анализ является одним из основных курсов, формирующих математическое образование обучающихся. Методы математического анализа лежат в основе всех изучаемых физических и математических дисциплин. Данная дисциплина призвана дать обучающимся математический аппарат, который будет использоваться в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как дифференциальные уравнения, функциональный анализ, специальные функции и пр.

Курс направлен на слушателей, желающих поступать в магистратуру МФТИ. 

Основными задачами данного курса являются:
– формирование у обучающихся базовых знаний по математическому анализу;
– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями; 
– формирование умений и навыков применять полученные знания для решения математических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.

Введение в математический анализ для поступающих в магистратуру

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

Курс разработан кафедрой высшей математики МФТИ

В состав курса входят видеолекции на русском языке продолжительностью 5-15 минут, видеосеминары с разбором задач по темам лекций на русском языке продолжительностью 5-15 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература

1. Дымарский Я.М. “Лекции по математическому анализу. Часть 1” Москва, МФТИ. 2020.
2. Бесов О.В. “Лекции по математическому анализу.” Москва, Физматлит, 2016.
3. Иванов Г.Е. “Лекции по математическому анализу. Часть 1” Москва, МФТИ, 2017.
4. Петрович А.Ю. “Лекции по математическому анализу. Часть 1” Москва, МФТИ. 2017

Дополнительная литература

1. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. “Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел, непрерывность, дифференцируемость.” 2е изд., перераб. М.: Физматлит, 2003.

Интернет-источники

1. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/ -- сайт кафедры высшей математики МФТИ, на котором есть указанные выше учебники.

2. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/exams/exams.php -- варианты экзаменационных контрольных МФТИ прошлых лет с ответами по математическим дисциплинам.

3.https://www.youtube.com/watch?v=vXr7qtDXuvk&list=PLocvKxfon41Wvzo9ArMgWKnYlLe83TFb3 – курс семинаров Скубачевского А.А. на YouTube.

4. http://www.exponenta.ru  – образовательный математический сайт.

5. http://mathnet.ru  – общероссийский математический портал.

6. http://www.edu.ru  – федеральный портал «Российское образование».

7. http://benran.ru  – библиотека по естественным наукам Российской академии наук.

8. http://www.i-exam.ru  – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом дисциплин: алгебра, геометрия

Урок 1. Числовые множества

01.01 Вводные понятия

01.02 Действительные числа

01.03 Расстояния и окрестности

01.04 Точные грани числового множества

Урок 2. Предел числовой последовательности

02.01 Понятие числовой последовательности

02.02 Задача. Доказательство сходимости последовательности

02.03 Свойства предела. Переход к пределу в неравенствах

02.04 Свойства бесконечно малых последовательностей. Арифметические действия со сходящимися последовательностями. 

02.05 Задача. Нахождение предела дробно-рациональной последовательности

02.06 Задача. Нахождение предела

02.07 Задача. Нахождение предела с помощью теоремы о 2 милиционерах

02.08 Задача. Нахождение предела с помощью домножения на сопряженные

02.09 Монотонные последовательности

02.10 Задача. Нахождение предела рекуррентно заданной монотонной и ограниченной последовательности

Урок 3. Частичные пределы, критерий Коши

03.01 Принцип вложенных отрезков

03.02 Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

03.03 Критерий Коши

Урок 4. Предел функции по Коши и Гейне. Свойства предела. Критерий Коши

04.01 Предел функции. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне

04.02 Задача. Предел функции

04.03 Задача. Применение определения предела по Гейне

04.04 Свойства предела функций

04.05 Задача. Нахождение пределов

04.06 Задача. Применение замечательных пределов

04.07 Критерий Коши

Урок 5. Непрерывность функции в точке и на отрезке

05.01 Непрерывность функции в точке

05.02 Свойства функций, непрерывных в точке

05.03 Свойства функций, непрерывных на отрезке

05.04 Теорема Больцано-Коши

05.05 Задача. Непрерывность функции

05.06 Задача. Доопределение функции по непрерывности

Урок 6. Обратная функция. Равномерная непрерывность

06.01 Обратная функция

06.02 Равномерная непрерывность

Урок 7. Производная и дифференциал функции одной переменной

07.01 Понятие производной. Дифференцируемость

07.02 Свойства производной. Производная суперпозиции и обратной функции

07.03 Задача. Производная функции. Правила дифференцирования.

07.04 Задача. Производная сложной функции

07.05 Задача. Производная сложной функции

07.06 Задача. Производная |x| и x^x

07.07 Задача. Производная неявной функции

07.08 Задача. Производная функции, заданной параметрически

07.09 Дифференциал функции

07.10 Задача. Дифференцируемость и дифференциал

07.11 Задача. Исследование на непрерывность, дифференцируемость и непрерывную дифференцируемость

Урок 8. Производные высших порядков

08.01 Производные высших порядков

08.02 Задача. Вычисление n-ой производной с помощью метода математической индукции

08.03 Задача. Вычисление n-ой производной

08.04 Задача. Вычисление n-ой производной с помощью формулы Лейбница

Урок 9. Теоремы о среднем

09.01 Теорема Ферма

09.02 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

09.03 Правило Лопиталя

09.04 Задача. Применение теоремы Лагранжа

Урок 10. Формула Тейлора

10.01 Формула Тейлора. Мотивация и определения

10.02.01 Задача. Разложение функции по формуле Тейлора. Часть 1

10.02.02 Задача. Разложение функции по формуле Тейлора. Часть 2

10.03 Четные и нечетные функции. Формулы Маклорена

10.04 Задача. Применение сдвига индексов в сумме для разложения по формуле Тейлора

10.05 Задача. Разложение функции по формуле Тейлора

Урок 11. Нахождение пределов функции с помощью формулы Тейлора и правила Лопиталя

11.01 Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Основной алгоритм

11.02 Нахождение пределов функций вида (f(x))^g(x) с помощью формулы Тейлора

11.03.01 Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Типовая задача с экзамена. Часть 1

11.03.02 Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Типовая задача с экзамена. Часть 2

11.04 Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора, пренебрегая малыми членами

11.05 Правило Лопиталя

Урок 12. Исследование функции одной переменной

12.01 Условия монотонности и локального экстремума

12.02 Выпуклость. Точка перегиба

12.03 Исследование функции. Алгоритм построения графика

12.04.01 Построение графика дробно-рациональной функции. Часть 1

12.04.02 Построение графика дробно-рациональной функции. Часть 2

12.05.01 Построение графика иррациональной функции от модуля. Часть 1

12.05.02 Построение графика иррациональной функции от модуля. Часть 2

12.06 Нахождение вертикальной асимптоты

12.07 Нахождение кривизны

12.08 Нахождение радиуса кривизны

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 - способность осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способность определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:  

ОПК-1 - способность применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 - способность использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 - способность осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

– основные понятия и результаты теории пределов и непрерывных функций;

– основные понятия и результаты теории дифференциального исчисления;

– определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач;

– решать основные задачи на вычисление пределов функций, их дифференцирование, на разложение функций по формуле Тейлора, исследование функций одной переменной;

– использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.