Многомерный анализ, интегралы и ряды для поступающих в магистратуру

Данная дисциплина призвана дать обучающимся математический аппарат, который будет использоваться в дальнейшем при изучении естественно-научных дисциплин и в научно-исследовательской работе.

Основными задачами данного курса  являются:

– формирование у обучающихся базовых знаний по многомерному анализу, работе с неопределенными, неопределенными и несобственными интегралами, а также с числовыми и функциональными рядами;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;

– формирование умений и навыков применять полученные знания для решения математических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

Курс разработан кафедрой высшей математики МФТИ

В состав курса входят видеолекции на русском языке продолжительностью 5-15 минут, видеосеминары с разбором задач по темам лекций на русском языке продолжительностью 5-15 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература

1. Дымарский Я.М. “Лекции по математическому анализу. Часть 2” Москва, МФТИ. 2020.
2. Бесов О.В. “Лекции по математическому анализу.” Москва, Физматлит, 2016.
3. Иванов Г.Е. “Лекции по математическому анализу. Часть 1” Москва, МФТИ, 2017.
4. Петрович А.Ю. “Лекции по математическому анализу. Часть 2” Москва, МФТИ. 2017
5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. “Сборник задач по математическому анализу. Т. 1-3. Предел, непрерывность, дифференцируемость.” 2е изд., перераб. М.: Физматлит, 2019.

Интернет-источники

1. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/ -- сайт кафедры высшей математики МФТИ, на котором есть указанные выше учебники.

2. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/exams/exams.php -- варианты экзаменационных контрольных МФТИ прошлых лет с ответами по математическим дисциплинам.

3.https://www.youtube.com/watch?v=vXr7qtDXuvk&list=PLocvKxfon41Wvzo9ArMgWKnYlLe83TFb3 – курс семинаров Скубачевского А.А. на YouTube.

4. http://www.exponenta.ru  – образовательный математический сайт.

5. http://mathnet.ru  – общероссийский математический портал.

6. http://www.edu.ru  – федеральный портал «Российское образование».

7. http://benran.ru  –библиотека по естественным наукам Российской академии наук.

8. http://www.i-exam.ru  – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом дисциплин: алгебра, геометрия.

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных с вузовскими дисциплинами: введение в математический анализ, аналитическая геометрия, линейная алгебра.

Курс состоит из 9 уроков

Урок 1. Неопределенный интеграл

01.01 Неопределенный интеграл

01.02 Основные правила интегрирования

01.03 Замена переменной и занесение под знак дифференциала

01.04 Тригонометрическая замена переменной

01.05 Интеграл от тригонометрической функции

01.06 Выделение полного квадрата в знаменателе

01.07 Интегрирование по частям. Часть 1

01.08 Интегрирование по частям. Часть 2

01.09 Интеграл от дробно-рациональной функции. Часть 1

01.10 Интеграл от дробно-рациональной функции. Часть 2

01.11 Интегрирование иррациональной функции

01.12 Подстановка Эйлера

01.13 Метод Остроградского

01.14 Замена переменной при интегрировании иррациональной функции

01.15 Замена переменной в интегрировании с помощью универсальной тригонометрической подстановки

Урок 2. Дифференцирование функций нескольких переменных

02.01 Вспомогательные понятия

02.02 Предел функции

02.03 Существование предела функции

02.04 Повторный предел

02.05 Понятие дифференцируемости

02.06 Необходимое условие дифференцируемости

02.07 Достаточное условие дифференцируемости

02.08 Связь дифференцируемости, существования частных производных и непрерывности

02.09 Исследование на дифференцируемость и непрерывную дифференцируемость

02.10 Исследование на дифференцируемость с помощью формулы Тейлора. Пример 1

02.11 Исследование на дифференцируемость с помощью формулы Тейлора. Пример 2

02.12 Исследование на дифференцируемость с помощью замены переменных и формулы Тейлора

02.13 Дифференциал функции

02.14 Дифференциал неявно заданной функции. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Урок 3. Экстремум функции многих переменных

03.01 Неявная функция

03.02 Теорема о неявной функции

03.03 Понятие локального экстремума

03.04 Классификация квадратичных форм

03.05 Достаточные условия локального экстремума

03.06 Нахождение локального экстремума функции двух переменных. Пример 1

03.07 Нахождение локального экстремума функции двух переменных. Пример 2

03.08 Нахождение локального экстремума функции двух переменных, заданной неявно

03.09 Понятие условного экстремума

03.10 Необходимые условия условного экстремума. Функция Лагранжа

03.11 Достаточные условия условного экстремума

03.12 Процедура нахождения точек условного экстремума

03.13 Нахождение условного экстремума функции многих переменных

03.14 Нахождение условного экстремума функции многих переменных с помощью дифференцирования уравнений связи

Урок 4. Определенный интеграл

04.01 Определение интеграла по схеме Дарбу

04.02 Определение интеграла по схеме Римана

04.03 Свойства определенного интеграла

04.04 Интегральные неравенства

04.05 Формула Ньютона-Лейбница

04.06 Определенный интеграл с переменным верхним пределом

04.07 Вычисление площади поверхности вращения

04.08 Вычисление длины кривой

Урок 5. Несобственный интеграл

05.01 Определение несобственного интеграла

05.02 Основные свойства несобственных интегралов. Критерий Коши

05.03 Несобственные интегралы от знакопостоянных функций

05.04 Несобственный интеграл от знакопостоянных функций. Признаки сравнения

05.05 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 1

05.06 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 2

05.07 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 3

05.08 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 4

05.09 Несобственные интегралы от знакопеременных функций

05.10 Основные теоремы для исследования на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции

05.11 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Четырехступенчатая схема

05.12 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 1

05.13 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 2

05.14 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 3

05.15 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 4

Урок 6. Числовые ряды

06.01 Сходимость числового ряда

06.02 Знакопостоянные ряды

06.03 Исследование знакопостоянного числового ряда на сходимость с помощью признака Коши

06.04 Исследование знакопостоянного числового ряда на сходимость с помощью признака Даламбера

06.05 Сумма ряда

06.06 Признаки сравнения для знакопостоянных числовых рядов

06.07 Знакопеременные ряды

06.08 Признак Дирихле для числовых рядов

06.09 Исследование числового ряда на сходимость с помощью формулы Тейлора

06.10 Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Урок 7. Функциональные последовательности и ряды

07.01 Функциональные последовательности

07.02 Свойства равномерной сходимости

07.03 Исследование функциональной последовательности на поточечную и равномерную сходимость

07.04 Исследование функциональной последовательности на поточечную и равномерную сходимость с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

07.05 Равномерная сходимость функционального ряда

07.06 Достаточные признаки равномерной сходимости функционального ряда

07.07 Исследование функционального ряда на поточечную и равномерную сходимость

07.08 Исследование функционального ряда на поточечную и равномерную сходимость с помощью критерия Коши. Пример 1

07.09 Исследование функционального ряда на поточечную и равномерную сходимость с помощью критерия Коши. Пример 2

Урок 8. Степенные ряды

08.01 Круг сходимости степенного ряда

08.02 Действительные степенные ряды

08.03 Ряд Тейлора

08.04 Ряды Маклорена основных элементарных функций

08.05 Разложение дробно-рациональной функции в ряд Тейлора

08.06 Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора

08.07 Представление функции в виде степенного ряда с помощью почленного дифференцирования и интегрирования. Пример 1

08.08 Представление функции в виде степенного ряда с помощью почленного дифференцирования и интегрирования. Пример 2

 Урок 9. Итоговое тестирование

09.01 Итоговый тест

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 - способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способностью определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:  

ОПК-1 - способностью применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 - способностью использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 - способностью осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

– понятия неопределенного интеграла и интеграла Римана

– определения частной производной, дифференцируемости и дифференциала функции нескольких переменных

– необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных

– определение несобственного интеграла и теоремы, необходимые для исследования несобственных интегралов на сходимость

– понятие числового ряда и теоремы, необходимые для исследования рядов на сходимость

– отличие понятий поточечной и равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов

– вычислять неопределенные и определенные интегралы

– вычислять частные производные и исследовать функции многих переменных на дифференцируемость

– исследовать на экстремум функции многих переменных

– исследовать на сходимость несобственные интегралы и числовые ряды

– исследовать на поточечную и равномерную сходимость функциональные последовательности и ряды

– использования стандартных методов и моделей многомерного анализа и их применения к решению прикладных задач.