Кратные интегралы и гармонический анализ для поступающих в магистратуру

Данная дисциплина призвана дать обучающимся математический аппарат, который будет использоваться в дальнейшем при изучении естественно-научных дисциплин и в научно-исследовательской работе.

Основными задачами данного курса являются:

– формирование у обучающихся базовых знаний по кратным, поверхностным и криволинейным интегралам, а также по рядам и преобразованию Фурье;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;

– формирование умений и навыков применять полученные знания для решения математических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.

Курс разработан кафедрой высшей математики МФТИ

В состав курса входят видеолекции на русском языке продолжительностью 5-15 минут, видеосеминары с разбором задач по темам лекций на русском языке продолжительностью 5-15 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература

1. Дымарский Я.М. “Лекции по математическому анализу. Часть 3” Москва, МФТИ. 2022.
2. Бесов О.В. “Лекции по математическому анализу. Часть 2” Москва, Физматлит, 2016.
3. Иванов Г.Е. “Лекции по математическому анализу. Часть 2” Москва, МФТИ, 2017.
4. Петрович А.Ю. “Лекции по математическому анализу. Часть 3” Москва, МФТИ. 2017
5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. “Сборник задач по математическому анализу. Т. 1-3. Предел, непрерывность, дифференцируемость.” 2е изд., перераб. М.: Физматлит, 2019.

Интернет-источники

1. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/ -- сайт кафедры высшей математики МФТИ, на котором есть указанные выше учебники.

2. http://www.exponenta.ru  – образовательный математический сайт.

3. http://mathnet.ru  – общероссийский математический портал.

4. http://www.edu.ru  – федеральный портал «Российское образование».

5. http://benran.ru  –библиотека по естественным наукам Российской академии наук.

6. http://www.i-exam.ru  – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом дисциплин: алгебра, геометрия

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных с вузовскими дисциплинами: введение в математический анализ, многомерный анализ, интегралы и ряды, аналитическая геометрия, линейная алгебра

Курс состоит из 7 недель

Неделя 1. Кратные интегралы

01.01 Мера Жордана

01.02 Кратный интеграл Римана

01.03 Свойства кратного интеграла

01.04 Сведение кратного интеграла к повторному

01.05 Переход от кратного интеграла к повторному

01.06 Смена порядка интегрирования

01.07 Вычисление кратного интеграла

01.08 Вычисление трехмерного кратного интеграла

01.09 Замена переменных в кратном интеграле

01.10 Вычисление кратного интеграла с помощью полярной замены координат

01.11 Переход к сферическим координатам в кратном интеграле

01.12 Вычисление кратного интеграла с помощью сферической замены координат

01.13 Вычисление кратного интеграла с помощью эллиптической замены координат

01.14 Вычисление кратного интеграла с помощью цилиндрической замены координат

01.15 Вычисление кратного интеграла с помощью сферической замены координат. Геометрическое приложение

Неделя 2. Криволинейные интегралы. Формула Грина

02.01 Простая гладкая кривая

02.02 Длина простой гладкой кривой

02.03 Криволинейный интеграл первого рода

02.04 Вычисление криволинейного интеграла первого рода

02.05 Вычисление криволинейного интеграла первого рода по кривой, заданной геометрически

02.06 Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью параметризации трехмерной кривой

02.07 Криволинейный интеграл второго рода

02.08 Вычисление криволинейного интеграла второго рода

02.09 Ориентация плоской замкнутой кривой

02.10 Формула Грина

02.11 Формула Грина для многосвязной области

02.12 Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью формулы Грина

02.13 Область применимости формулы Грина

02.14 Вычисление криволинейного интеграла второго рода от потенциального поля

Неделя 3. Поверхностные интегралы

03.01 Кусочно-гладкие поверхности

03.02 Поверхностный интеграл первого рода

03.03 Ориентация простой гладкой поверхности

03.04 Ориентация кусочно-гладкой поверхности

03.05 Вычисление поверхностного интеграла первого рода

03.06 Вычисление площади поверхности

03.07 Вычисление массы поверхности с помощью поверхностного интеграла 1 рода

03.08 Поверхностный интеграл второго рода

03.09 Вычисление поверхностного интеграла второго рода

03.10 Вычисление потока векторного поля через поверхность с помощью поверхностного интеграла 2 рода

Неделя 4. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса. Скалярные и векторные поля

04.01 Операции со скалярными и векторными полями

04.02 Вычисление дивергенции градиента

04.03 Правило Лейбница

04.04 Применение правила Лейбница к решению задач

04.05 Формула Остроградского-Гаусса

04.06 Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью формулы Остроградского-Гаусса

04.07 Область применимости формулы Остроградского-Гаусса

04.08 Формула Стокса

04.09 Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью формулы Стокса

04.10 Связь операций с полями с формулой Стокса

04.11 Соленоидальные векторные поля

04.12 Потенциальные векторные поля

04.13 Критерий потенциальности поля

Неделя 5. Ряды Фурье

05.01 Абсолютно интегрируемая функция

05.02 Тригонометрический ряд Фурье

05.03 Основные задачи классической теории рядов Фурье

05.04 Теорема Римана об осцилляции

05.05 Ядро Дирихле и принцип локализации

05.06 Сходимость ряда Фурье в точке

05.07 Равномерная сходимость ряда Фурье

05.08 Поточечная и равномерная сходимость тригонометрических рядов Фурье

05.09 Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

05.10 Разложение функции в ряд Фурье по {cos kx}

05.11 Разложение функции в ряд Фурье по {sin kx}

05.12 Разложение в тригонометрический ряд Фурье с периодом 2l

05.13 Комплексная форма ряда Фурье

05.14 Разложение f(x) в ряд Фурье по синусам нечетных дуг.

05.15 Пример разложения f(x) в ряд Фурье по синусам нечетных дуг.

05.16 Почленное интегрирование рядов Фурье

05.17 Равенство Парсеваля

05.18 Нахождение разложения в ряд Фурье с помощью равенства Парсеваля и почленного интегрирования

05.19 Порядок убывания коэффициентов Фурье

05.20 Проверка, является ли тригонометрический ряд рядом Фурье

Неделя 6. Преобразование Фурье. Теоремы Вейерштрасса о приближении

06.01 Преобразование Фурье

06.02 Основные свойства преобразования Фурье

06.03 Алгебраические свойства и дифференцирование

06.04 Нахождение преобразования Фурье

06.05 Применение свойств преобразования Фурье

06.06 Усреднение ряда Фурье методом Фейера

06.07 Теоремы Вейерштрасса о приближении

Неделя 7. Итоговое тестирование

07.01 Итоговый тест

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 - способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способностью определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:  

ОПК-1 - способностью применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 - способностью использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 - способностью осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

– понятие кратного интеграла

– понятие криволинейного интеграла

– понятие поверхностного интеграла

– формулы Грина, Остроградского-Гаусса и Стокса

– понятие тригонометрического ряда Фурье

– свойства тригонометрических рядов Фурье

– понятие преобразования Фурье

– вычислять кратные интегралы

– вычислять криволинейные интегралы первого и второго рода

– вычислять поверхностные интегралы первого и второго рода

– сводить вычисление интегралов одного типа к интегралам другого типа с помощью формул Грина, Остроградского-Гаусса и Стокса

– раскладывать функции в тригонометрический ряд Фурье

– исследовать тригонометрические ряды Фурье на равномерную сходимость

– вычислять преобразование Фурье

– использования стандартных методов и моделей гармонического анализа и кратных интегралов и их применения к решению прикладных задач