Высшая математика. Математический анализ

Этот курс логически является первой частью двойного авторского курса Алексея Савватеева "Высшая математика для всех". Здесь излагаются основные понятия математического анализа: предел и его различные применения (сумма ряда, предел последовательности, производная, интеграл), непрерывность, построение графиков функций, функциональные последовательности и ряды (в частности, степенные). Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Главной сюжетной линией является построение экспоненты как функции сначала вещественной, а потом и комплексной переменной (а в последующей второй части курса, посвящённой линейной алгебре, будет строиться экспонента от оператора). В связи с этой задачей оказываются задействованными основные инструменты математического анализа и типичные приёмы математических рассуждений, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

Для бесплатного просмотра доступны только часть материалов курса.

Полный доступ откроется только после оплаты сертификации. Стоимость сертификации составляет 3600 рублей.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на openedu@mipt.ru письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

Курс включает 13 недель лекционных и семинарских занятий. На лекциях излагаются основные идеи, примеры, сюжеты, теория. На семинарах − более технические вопросы и задачи, иллюстрирующие использование методов. В конце каждой недели слушателям предлагаются контрольные задачи, а по окончании всех недель − проверочный экзамен. В основном задачи ориентированы на проверку понимания материалов лекций и семинаров, но есть и более сложные задания, требующие самостоятельной работы.

Логическим продолжением этого курса является вторая часть двойного курса "Высшая математика для всех" − "Линейная алгебра и элементы топологии". По замыслу автора эти две части − математический анализ и линейная алгебра − должны восприниматься слушателями как единое целое. Перед изучением второй части курса очень желательно быть знакомым с первой частью.

Курс не требует предварительных знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. 

1. Мотивирующие примеры: как далеко видно с горы, приближенные вычисления, последовательность вложенных треугольников.
2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Полнота множества вещественных чисел. Признаки сходимости рядов: интегральный, Даламбера и Коши.
3. Последовательности, интуитивное представление о сходимости. Сходимость без указания предела (фундаментальные последовательности). Предел последовательности, его связь с суммой ряда. Примеры пределов последовательностей. Рекуррентные последовательности.
4. Общее понятие предела, основанное на системе окрестностей. Использование пределов в математическом анализе: производная, задание и вычисление вещественных чисел, интеграл, асимптотика.
5. Многочлены и их графики. Корни многочлена и теорема Безу. Локальные экстремумы и производная. Старшие производные.
6. Экспонента: введение. Возникновение экспоненты и числа e в различных задачах.
7. Экспонента: алгебраический подход. Теорема о промежуточном значении и неизменность знака экспоненты. Построение экспоненты "по непрерывности".
8. Степенные ряды. Экспонента как степенной ряд. Число e − основание степени в экспоненте. "Замечательный предел" для числа e и экспоненты. Продолжение экспоненты на комплексную плоскость. Раскрытие скобок в произведении рядов. Абсолютная сходимость ряда и перестановка слагаемых. Условно сходящиеся ряды.
9. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Мажорируемая сходимость. Радиус сходимости степенного ряда.
10. Комплексная экспонента. Комплексные тригонометрические функции.