Линейная алгебра и аналитическая геометрия для инженеров и исследователей

Курс «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» является базовой составляющей в образовании современного инженера. Включает в себя следующие разделы: векторная алгебра, прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве, кривые и поверхности второго порядка, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейные операторы и квадратичные формы.

 Цель курса:
- научить анализировать геометрические объекты с помощью методов и понятий векторной алгебры и аналитической геометрии; 
- научить исследовать системы линейных алгебраических уравнений методами линейной алгебры; 
- научить оперировать основными понятиями линейной алгебры и использовать методы линейной алгебры при построении и анализе математических моделей, необходимых для решения технологических, производственных и экономико-организационных задач.

Присоединяйтесь к Telegram-каналу Онлайн-курсы НИТУ МИСИС или пишите на openedu@misis.ru. Мы ответим на все ваши вопросы.

В состав курса входят видеолекции продолжительностью 6-10 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, анимационные ролики с инфографикой.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (10-15 вопросов).

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Аналитическая геометрия, М., "Наука", 1981.- 232с
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра. - М., "Наука", 1978.- 294с
3. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа. (Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П.), М.,Наука, 1986, 464с., с илл.
4. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. -М., "Наука", 1969.- 240с.
5. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А., Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, М., - "Наука", 1987.- 495с.

Для полноценного освоения учебного материала по дисциплине студент должен использовать знания, полученные предварительно в объеме, предусмотренном программами общего среднего образования.

Неделя 1
Раздел 1. 
1.1.Вводный урок. Предмет аналитической геометрии. Линейные пространства. 
1.2. Предмет аналитической геометрии. Геометрические векторы. Общие понятия. Коллинеарные и компланарные векторы. Орт вектора.
1.3. Линейные операции над векторами
1.4. Понятие о линейном пространстве. Примеры линейных пространств. 
1.5. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых и независимых систем элементов линейного пространства. 
1.6. Базис в линейном пространстве. Размерность линейного пространства. Единственность разложения вектора по базису. 
1.7. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.

Неделя 2
Раздел 2. Векторная алгебра. Часть 1.
2.1. Проекция вектора на вектор. Свойства проекций. Ортогональная проекция вектора на ось. Ортогональная проекция вектора на плоскость.
2.2. Базис в множестве геометрических векторов. Координаты вектора.
2.3. Декартова прямоугольная система координат (Д.П.С.К).
2.4. Действия над векторами, заданными в Д.П.С.К. Условие коллинеарности двух векторов. Деление отрезка в данном отношении.
2.5. Скалярное произведение векторов, его свойства.
2.6. Связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Применение скалярного произведения в физике.

Неделя 3
Раздел 2. Векторная алгебра. Часть 2.   
2.7. Определители второго и третьего порядков, их свойства. 
2.8. Правые и левые тройки векторов.
2.9. Векторное  произведения векторов, его свойства, координатное представление.
2.10. Смешанное произведения векторов, его свойства, координатное представление.
2.11. Применение скалярного, смешанного и векторного произведения в физике и механике.

Неделя 4 
Раздел 3. Прямая на плоскости, прямая и плоскость в пространстве
3.1. Прямая в пространстве. Основные способы задания прямой в пространстве.
3.2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве.
3.3. Прямая на плоскости как алгебраическая кривая первого порядка. Основные виды уравнений прямой на плоскости.
3.4. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
3.5. Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка. Основные виды уравнений плоскости.
3.6. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
3.7. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.
3.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

Неделя 5 
Раздел 4. Кривые второго порядка. 
4.1. Общее уравнение алгебраической кривой второго порядка. Параллельный перенос системы координат. Классификация кривых 2-го порядка.
4.2. Приведение к каноническому виду уравнений алгебраических кривых второго порядка, не содержащих произведения переменных.
4.3. Эллипс, каноническое уравнение, основные параметры, фокальное свойство.
4.4. Директориальное свойство эллипса.
4.5. Касательная к эллипсу, оптическое свойство эллипса.
4.6. Примеры решения задач по теме “эллипс” (урок с практической частью).
4.7. Гипербола, каноническое уравнение, основные параметры, фокальное свойство.
4.8. Директориальное свойство гиперболы.
4.9. Асимптоты гиперболы. Касательная к гиперболе. Оптическое свойство гиперболы.
4.10. Примеры решения задач по теме “гипербола” (урок с практической частью).
4.11. Парабола, каноническое уравнение, основные параметры, директориальное свойство параболы.
4.12. Касательная к параболе, оптическое свойство параболы.
4.13. Примеры решения задач по теме “парабола” (урок с практической частью).

Неделя 6 
Раздел 5. Поверхности второго порядка
5.1. Общее уравнение алгебраической поверхности второго порядка. Эллипсоид, основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям. 
5.2. Однополостный и двуполостный  гиперболоиды. Их основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
5.3. Конус второго порядка, эллиптический параболоид. Их основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
5.4. Гиперболический параболоид. Цилиндрические поверхности второго порядка. Их основные свойства и построение по сечениям, параллельным координатным плоскостям.
5.5. Приведение к каноническому виду уравнений поверхностей, не содержащих произведений переменных. Примеры решения задач по теме “поверхности  второго порядка” (урок с практической частью).

Неделя 7.
Раздел 6. Определители и матрицы. Часть 1.
6.1.  Матрицы и действия над ними: линейные операции и умножение матриц.
6.2.  Умножение матриц как преобразование строк и столбцов. Транспонирование.
6.3.  Специальные типы матриц.
6.4.  Ориентированная площадь на плоскости.
6.5.  Ориентированный объём в пространстве.
6.6.  n-мерный ориентированный объём.
6.7.  Перестановки и их чётность.
6.8.  Формула для ориентированного объёма и определитель.
6.9.  Полилинейные кососимметричные функции.
6.10. Композиции перестановок и обратные перестановки.

Неделя 8.
Раздел 6. Определители и матрицы. Часть 2.
6.11. Свойства определителя.
6.12. Определитель произведения матриц.
6.13. Формулы Крамера и ориентированный объём.
6.14. Определитель специального вида.
6.15. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя.
6.16. Биортогональная система к системе строк/столбцов. Обратная матрица.
6.17. Ранг матрицы и базисный минор.
6.18. Свойства ранга матрицы.
6.19. Ориентированный объём повёрнутого куба.
6.20. Связь ориентированного объёма и обычного.

Неделя 9
Раздел 7. Системы линейных алгебраических уравнений и матричные уравнения. 
7.1. Матричные уравнения. 
7.2. Системы линейных алгебраических уравнений.
7.3. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
7.4. Условие существования решений систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
7.5. Фундаментальная система решений. Свойства общего решения однородной системы линейных уравнений. 
7.6. Свойства общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

Неделя 10
Раздел 8. Линейные операторы
8.1. Линейные операторы. Примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов.
8.2. Матрица линейного оператора.
8.3. Примеры матриц линейных операторов. Оператор поворота.
8.4. Координаты вектора в новом базисе. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
8.5. Обратный оператор. Ядро, образ и ранг линейного оператора.
8.6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен.
8.7. Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.
8.8. Алгебраическая и геометрическая кратность собственных значений.
8.9. Линейная независимость векторов, отвечающих различным собственным значениям.
8.10. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов

Неделя 11.
Раздел 9. Самосопряженные линейные операторы
9.1. Евклидово пространство. Скалярное произведение.
9.2. Норма. Теорема Пифагора.
9.3. Неравенство Коши–Буняковского и неравенство треугольника.
9.4. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Разложение произвольного вектора по ортогональному базису.
9.5.Теорема о существовании в евклидовом пространстве ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.
9.6. Ортогональные операторы.
9.7. Сопряженные линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы.
9.8. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора. Диагональный вид самосопряженного оператора. Спектральное разложение самосопряженного оператора 
9.9* Комплексные числа
9.10* Доказательство теоремы о вещественности собственных значений самосопряженного оператора
9.11* Доказательство теоремы о приведении самосопряженного оператора к диагональному виду
* – бонусные (дополнительные) темы

Неделя 12
Раздел 10. Билинейные и квадратичные формы.
10.1. Линейные функционалы.
10.2. Билинейные формы. Соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Матрица билинейной формы и её изменение при замене базиса.
10.3. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Разложение формы на симметричную и кососимметричную.
10.4. Квадратичные формы. Соответствие между квадратичными и билинейными формами. Матрица квадратичной формы.
10.5. Закон инерции.
10.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
10.7. Метод Якоби. 
10.8. Критерий Сильвестра.
10.9. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в евклидовом пространстве ортогональными преобразованиями.
10.10. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду с помощью поворота.
 

В результате освоения курса обучающиеся смогут:
- выполнять операции над векторами, матрицами, операторами, элементами линейных пространств, а также находить собственные векторы линейных операторов и приводить матрицу симметрического линейного оператора и матрицу квадратичной формы к диагональному виду, по общему уравнению определять типы алгебраических кривых и алгебраических поверхностей второго порядка;
- использовать методы аналитической геометрии и линейной алгебры для решения геометрических задач на плоскости и в пространстве, а также для выяснения взаимного расположения двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве;
- решать матричные уравнения и исследовать системы линейных алгебраических уравнений;
- применять теорию линейных операторов для приведения к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка, а также теорию квадратичных форм к исследованию экстремальных свойств функций нескольких переменных;
- применять аппарат векторной алгебры для решения задач физики.

Освоение курса направлено на получение универсальных (УК) и общепрофессиональных (ОПК) компетенций.
УК:
- использовать основные законы аналитической геометрии и линейной алгебры при решении практических задач, анализировать практические ситуации, выделять базовые составляющие задачи, подбирать варианты решения и разрабатывать алгоритмы решения практической задачи.
ОПК
- способность применять знание фундаментальной математики и естественно-научных дисциплин при решении задач в области естественных наук и инженерной практике.