Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Курс «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» является базовой составляющей в образовании современного инженера. Включает в себя следующие разделы: теория пределов; непрерывность функций, зависящих от одной переменной; производная и дифференциал функций одной переменной; применение дифференциального исчисления к исследованию функций одной переменной и построению их графиков. В курсе рассматриваются приложения дифференциального исчисления к решению инженерных, экономических и других задач.

Присоединяйтесь к Telegram-каналу Онлайн-курсы НИТУ МИСИС или пишите на openedu@misis.ru. Мы ответим на все ваши вопросы.

В состав курса входят видео-лекции продолжительностью 6-10 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, анимационные ролики с инфографикой.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (15-20 вопросов).

1. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – Москва : Дрофа, 2008.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. –Москва :Наука, 1996.
4. Тер-Крикоров А.М. Курс математического анализа / А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин.– Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2003.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Для полноценного освоения учебного материала по дисциплине студент должен использовать знания, полученные предварительно в объеме, предусмотренном программами общего среднего образования, а также знания и умения, приобретаемые в процессе изучения модуля "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" дисциплины "Математика". Кроме того, для иллюстрации методов применения дифференциального исчисления также необходимы знания по другим общеобразовательным и специальным дисциплинам, приобретаемым в процессе обучения.

Курс состоит из 9 разделов и 12 недель обучения: 

Неделя 1
Раздел I. Введение
Урок 1. О роли математики в инженерном образовании обучающихся
Урок 2. Математическая символика. Множества. Числовые множества. 
Урок 3. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числового множества
Урок 4. Теорема существования точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества
Урок 5. Понятие числовой функции действительной переменной. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. 
Урок 6. Четные и нечетные функции
Урок 7. Периодические функции. Ограниченные и неограниченные функции
Урок 8. Монотонные функции. Обратная функция
Урок 9. Преобразование графиков функций. Графики основных элементарных функций

Неделя 2
Раздел II. Числовые последовательности
Урок 1. Понятие числовой последовательности. Определение предела числовой последовательности. Примеры
Урок 2. Окрестность точки. Единственность предела числовой последовательности. Ограниченные последовательности
Урок 3. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Урок 4. Свойства бесконечно малых последовательностей. Бесконечно большие последовательности и их свойства
Урок 5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Урок 6. Неопределенные выражения. Предельный переход в неравенствах
Урок 7. Монотонные последовательности. Точные грани последовательности. Суще-ствование предела у ограниченной монотонной последовательности (теорема Вейер-штрасса)
Урок 8. Число "е"
Урок 9. Принцип вложенных отрезков. Подпоследовательность числовой последовательности
Урок 10. Частичный, нижний и верхний пределы последовательности. Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальная последовательность
Урок 11. Критерий Коши существования предела последовательности

Неделя 3
Раздел III. Предел функции
Урок 1. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела функции
Урок 2. Пределы функции в точке слева и справа (односторонние пределы)
Урок 3. Свойства функций, имеющих предел
Урок 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства
Урок 5. Асимптоты графика функции и способы их отыскания
Урок 6. Первый замечательный предел и его следствия
Урок 7. Второй замечательный предел и его следствия
Урок 8. Сравнение функций. Эквивалентные функции
Урок 9. Сравнение функций. Символы «O-малое» и «О-большое»
Урок 10. Асимптотическое представление функций

Неделя 4
Раздел IV. Непрерывность функции
Урок 1. Определение непрерывности функции в точке
Урок 2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация
Урок 3. Свойства функций, непрерывных в точке
Урок 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса
Урок 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.  Теоремы о нулях и о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции
Урок 6. Непрерывность обратной функции
Урок 7. Непрерывность элементарных функций

Неделя 5
Раздел V. Производная и дифференциал функции
Урок 1. Определение производной функции в точке. Физический смысл производной
Урок 2. Физический смысл производной: продолжение. Вычисление производной синуса
Урок 3. Геометрический смысл производной
Урок 4. Дифференцируемость и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции
Урок 5. Связь дифференциала и производной
Урок 6. Связь дифференциала и производной: примеры
Урок 7. Правила дифференцирования функции с постоянным множителем, суммы и разности функций
Урок 8. Правила дифференцирования произведения и частного функций
Урок 9. Теорема о производной обратной функции: формулировка и доказательство

Неделя 6
Урок 10. Теорема о производной обратной функции: примеры
Урок 11. Производная сложной функции: постановка задачи
Урок 12. Производная сложной функции: теорема. Инвариантность формы первого дифференциала
Урок 13. Производная сложной функции: примеры
Урок 14. Производная логарифма и экспоненты
Урок 15. Производная степенной функции. Производная тангенса и арктангенса
Урок 16. Таблица производных основных элементарных функций.
Урок 17. Применение дифференциала для приближенных вычислений значений функции

Неделя 7
Раздел VI.  Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о дифференцируемых функциях
Урок 1. Производные высших порядков: определение
Урок 2. Производные высших порядков: примеры
Урок 3. Дифференциалы высших порядков
Урок 4. Неинвариантность формы высших дифференциалов
Урок 5. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: начало
Урок 6. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: доказательство. Метод индукции 
Урок 7. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произведения функций: пример

Неделя 8
Урок 8. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде: постановка задачи
Урок 9. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде: вывод формулы
Урок 10. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма: лемма о связи знака производной и монотонности в точке
Урок 11. Теорема Ферма: формулировка и доказательство
Урок 12. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ролля о нулях производной
Урок 13. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений)
Урок 14. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Неделя 9
Раздел VII. Правило Лопиталя.  Формула Тейлора
Урок 1. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 
Урок 2. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «0/0». Примеры
Урок 3. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «бесконечность делить на бесконечность»
Урок 4. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «бесконечность делить на бесконечность» при бесконечно больших аргументах
Урок 5. Правило Лопиталя. Другие виды неопределенностей

Неделя 10
Урок 6. Формула Тейлора для многочлена
Урок 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Урок 8. Разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора
Урок 9. Разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора: композиции функций
Урок 10. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
Урок 11. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Урок 12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: применение для приближённых вычислений значений функции

Неделя 11
Раздел VIII. Применение производной к исследованию функции. Поведение функции на интервале
Урок 1. Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
Урок 2. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстремума. Первое достаточное условие экстремума
Урок 3. Другие достаточные условия локального экстремума
Урок 4. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
Урок 5. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графика
Урок 6. Решение задач на исследование функций
Урок 7. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Неделя 12
Раздел IX. Приложения дифференциального исчисления
Урок 1. Приложения дифференциального исчисления в горном деле. Задачи, приводящие к понятию производной
Урок 2. Приложения дифференциального исчисления в горном деле. Задачи, приводящие к понятию дифференциала
Урок 3. Приложения дифференциального исчисления к задачам экономики
Урок 4. Приложения дифференциального исчисления к теории информации
Урок 5. Приложения дифференциального исчисления к финансовой математике
Урок 6. Приложения дифференциального исчисления к логистической функции

В результате освоения курса студент:
● знает основные определения и понятия дифференциального исчисления, основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной;
● находит пределы последовательностей и функций, производную и дифференциал функции, производные высших порядков;
● классифицирует точки разрыва;
● применяет теорему Лопиталя и формулу Тейлора для вычисления пределов;
● знает основы построения графиков функций без производной и с применением производной;
● понимает, как дифференцировать функции, зависящие от одной переменной;
● понимает, в каких сферах человеческой деятельности применяется дифференциальное исчисление.

ОПК-1. Способен решать задачи профессиональной деятельности, применяя методы моделирования, математического анализа, естественнонаучные и общеинженерные знания