Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Курс «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» является базовой составляющей в образовании современного инженера. Включает в себя следующие разделы: теория пределов; непрерывность функций, зависящих от одной переменной; производная и дифференциал функций одной переменной; применение дифференциального исчисления к исследованию функций одной переменной и построению их графиков. В курсе рассматриваются приложения дифференциального исчисления к решению инженерных, экономических и других задач.

Присоединяйтесь к Telegram-каналу Онлайн-курсы НИТУ МИСИС или пишите на openedu@misis.ru. Мы ответим на все ваши вопросы.

В состав курса входят видео-лекции продолжительностью 6-10 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, анимационные ролики с инфографикой.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (15-20 вопросов).

1. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – Москва : Дрофа, 2008.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. –Москва :Наука, 1996.
4. Тер-Крикоров А.М. Курс математического анализа / А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин.– Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2003.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Для полноценного освоения учебного материала по дисциплине студент должен использовать знания, полученные предварительно в объеме, предусмотренном программами общего среднего образования, а также знания и умения, приобретаемые в процессе изучения модуля "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" дисциплины "Математика". Кроме того, для иллюстрации методов применения дифференциального исчисления также необходимы знания по другим общеобразовательным и специальным дисциплинам, приобретаемым в процессе обучения.

Курс состоит из 9 разделов и 12 недель обучения: 

Неделя 1
Раздел I. Введение
Урок 1. О роли математики в инженерном образовании обучающихся
Урок 2. Математическая символика. Множества. Числовые множества. 
Урок 3. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числового множе-ства
Урок 4. Теорема существования точной верхней грани у ограниченного сверху число-вого множества
Урок 5. Понятие числовой функции действительной переменной. Область определе-ния и область значений функции. Способы задания функции. 
Урок 6. Четные и нечетные функции
Урок 7. Периодические функции. Ограниченные и неограниченные функции
Урок 8. Монотонные функции. Обратная функция
Урок 9. Преобразование графиков функций. Графики основных элементарных функ-ций

Неделя 2
Раздел II. Числовые последовательности
Урок 1. Понятие числовой последовательности. Определение предела числовой по-следовательности. Примеры
Урок 2. Окрестность точки. Единственность предела числовой последовательности. Ограниченные последовательности
Урок 3. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Бесконечно малые и бесконечно большие последова-тельности
Урок 4. Свойства бесконечно малых последовательностей. Бесконечно большие по-следовательности и их свойства
Урок 5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Урок 6. Неопределенные выражения. Предельный переход в неравенствах
Урок 7. Монотонные последовательности. Точные грани последовательности. Суще-ствование предела у ограниченной монотонной последовательности (теорема Вейер-штрасса)
Урок 8. Число е
Урок 9. Принцип вложенных отрезков. Подпоследовательность числовой последова-тельности
Урок 10. Частичный, нижний и верхний пределы последовательности. Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальная последовательность
Урок 11. Критерий Коши существования предела последовательности

Неделя 3
Раздел III. Предел функции
Урок 1. Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела функции
Урок 2. Пределы функции в точке слева и справа (односторонние пределы)
Урок 3. Свойства функций, имеющих предел
Урок 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства
Урок 5. Асимптоты графика функции и способы их отыскания
Урок 6. Первый замечательный предел и его следствия
Урок 7. Второй замечательный предел и его следствия
Урок 8. Сравнение функций. Эквивалентные функции
Урок 9. Сравнение функций. Символы «о-малое» и «О-большое»
Урок 10. Асимптотическое представление функций

Неделя 4
Раздел IV. Непрерывность функции
Урок 1. Определение непрерывности функции в точке
Урок 2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их класси-фикация
Урок 3. Свойства функций, непрерывных в точке
Урок 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Первая и вторая теоремы Вей-ерштрасса
Урок 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.  Теоремы о нулях и о промежу-точных значениях непрерывной на отрезке функции
Урок 6. Непрерывность обратной функции
Урок 7. Непрерывность элементарных функций

Неделя 5
Раздел V. Производная и дифференциал функции
Урок 1. Определение производной функции в точке. Физический смысл производной
Урок 2. Физический смысл производной: продолжение. Вычисление производной си-нуса
Урок 3. Геометрический смысл производной
Урок 4. Дифференцируемость и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции
Урок 5. Связь дифференциала и производной
Урок 6. Связь дифференциала и производной: примеры
Урок 7. Правила дифференцирования функции с постоянным множителем, суммы и разности функций
Урок 8. Правила дифференцирования произведения и частного функций
Урок 9. Теорема о производной обратной функции: формулировка и доказательство

Неделя 6
Урок 10. Теорема о производной обратной функции: примеры
Урок 11. Производная сложной функции: постановка задачи
Урок 12. Производная сложной функции: теорема. Инвариантность формы первого дифференциала
Урок 13. Производная сложной функции: примеры
Урок 14. Производная логарифма и экспоненты
Урок 15. Производная степенной функции. Производная тангенса и арктангенса
Урок 16. Таблица производных основных элементарных функций.
Урок 17. Применение дифференциала для приближенных вычислений значений функции

Неделя 7
Раздел VI.  Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о дифференцируемых функциях
Урок 1. Производные высших порядков: определение
Урок 2. Производные высших порядков: примеры
Урок 3. Дифференциалы высших порядков
Урок 4. Неинвариантность формы высших дифференциалов
Урок 5. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: начало
Урок 6. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: доказательство. Метод индукции 
Урок 7. Правило Лейбница для нахождения производных высших порядков от произ-ведения функций: пример

Неделя 8
Урок 8. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде: постановка задачи
Урок 9. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде: вывод формулы
Урок 10. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма: лемма о связи знака производной и монотонности в точке
Урок 11. Теорема Ферма: формулировка и доказательство
Урок 12. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ролля о нулях производной
Урок 13. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений)
Урок 14. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Коши (обоб-щенная формула конечных приращений)

Неделя 9
Раздел VII. Правило Лопиталя.  Формула Тейлора
Урок 1. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 
Урок 2. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «0/0». Примеры
Урок 3. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «бесконечность делить на беско-нечность»
Урок 4. Правило Лопиталя. Неопределенность вида «бесконечность делить на беско-нечность» при бесконечно больших аргументах
Урок 5. Правило Лопиталя. Другие виды неопределенностей

Неделя 10
Урок 6. Формула Тейлора для многочлена
Урок 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Урок 8. Разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора
Урок 9. Разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора: компози-ции функций
Урок 10. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
Урок 11. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Урок 12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: применение для приближённых вычислений значений функции

Неделя 11
Раздел VIII. Применение производной к исследованию функции. Поведение функции на интервале
Урок 1. Критерии постоянства и монотонности функции на интервале
Урок 2. Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстрему-ма. Первое достаточное условие экстремума
Урок 3. Другие достаточные условия локального экстремума
Урок 4. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
Урок 5. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее гра-фика
Урок 6. Решение задач на исследование функций
Урок 7. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Неделя 12
Раздел IX. Приложения дифференциального исчисления
Урок 1. Приложения дифференциального исчисления в горном деле. Задачи, приво-дящие к понятию производной
Урок 2. Приложения дифференциального исчисления в горном деле. Задачи, приво-дящие к понятию дифференциала
Урок 3. Приложения дифференциального исчисления к задачам экономики
Урок 4. Приложения дифференциального исчисления к теории информации
Урок 5. Приложения дифференциального исчисления к финансовой математике
Урок 6. Приложения дифференциального исчисления к логистической функции

В результате освоения курса студент:

●     знает основные определения и понятия дифференциального исчисления, основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной;

●     находит пределы последовательностей и функций, производную и дифференциал функции, производные высших порядков;

●     классифицирует точки разрыва;

●     применяет теорему Лопиталя и формулу Тейлора для вычисления пределов;

●     знает основы построения графиков функций без производной и с применением производной;

●     понимает, как дифференцировать функции, зависящие от одной переменной;

●     понимает, в каких сферах человеческой деятельности применяется дифференциальное исчисление.

ОПК-1. Способен решать задачи профессиональной деятельности, применяя методы моделирования, математического анализа, естественнонаучные и общеинженерные знания

01.03.04 Прикладная математика
03.04.02 Физика
09.03.01 Информатика и вычислительная техника
09.03.02 Информационные системы и технологии
09.03.03 Прикладная информатика
11.04.04 Электроника и наноэлектроника
15.03.02 Технологические машины и оборудование
21.05.04 Горное дело
21.05.05 Физические процессы горного или нефтегазового производства
22.03.02 Металлургия
22.04.01 Материаловедение и технологии материалов
23.05.01 Наземные транспортно-технологические средства
28.04.01 Нанотехнологии и микросистемная техника
38.03.01 Экономика
38.03.02 Менеджмент
38.03.05 Бизнес-информатика
- Курс может быть включен в бакалаврскую программу обучения онлайн-образования. - Курс может быть включен в программу обучения специалиста. - Курс может быть использован как курс ДПО.