Алгебра и геометрия

I часть. Матрицы, теоретико-множественные понятия, геометрические векторы, линейные пространства, системы линейных алгебраических уравнений.
Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».

Форма обучения: дистанционная. 

Еженедельные занятия будут включать:

• тематические видеолекции, на которых излагается теоретический материал курса, каждая лекция сопровождается тестами;
• семинарские занятия, ориентированные на усвоение лекционного материала, приобретение навыков решения задач и умение пользоваться алгоритмами;
• тренажеры (в интерактивном формате) для самостоятельного решения простейших задач с автоматизированной проверкой результатов;
• дополнительные семинарские занятия по решению задач повышенной трудности: будут изложены основные приемы математических доказательств, их применение будет иллюстрироваться на примерах задач по текущему разделу курса.

Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».

Лекция 1.

Глава I. Основы теории матриц
§ 1. Понятие матрицы
Компактная форма записи матрицы. Матрицы специального вида.
§ 2. Операции над матрицами
Линейные операции. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

Лекция 2.
§ 3. Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных
преобразований
Приведение к ступенчатому виду. Матрицы элементарных преобразований.
§ 4. Определитель матрицы
Перестановки. Построение определителя n-го порядка. Простейшие свойства.

Лекция 3.
§ 4. Определитель матрицы (продолжение)
Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа, общая схема доказательства.

Лекция 4.
§ 4. Определитель матрицы (продолжение)
Доказательство теоремы Лапласа. Разложение определителя по строке (столбцу).
Блочные матрицы. Определитель произведения матриц.

Лекция 5.
§ 5. Обратная матрица
Определение и простейшие свойства. Присоединенная матрица. Критерий обратимости. Явный вид обратной матрицы.

Глава II. Теоретико-множественные понятия
§ 6. Понятие множества.
О понятии множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств.
§ 7. Бинарные отношение. Отношение эквивалентности
§ 8. Отображения
Определение. Биективное (взаимно-однозначное) отображение. Обратное отображение.
Критерий обратимости.

Лекция 6.

Глава III. Геометрические векторы
§ 9. Направленные отрезки
§ 10. Свободный вектор. Линейные операции над векторами
Определение и терминология. Линейные операции над векторами. Множества векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.

Лекция 7.

Глава IV. Введение в теорию линейных пространств
§ 11. Вещественное линейное пространство.
Определение. Примеры: геометрические пространства, арифметическое пространство, пространство матриц, пространства многочленов.
§ 12. Линейная зависимость
§ 13. Геометрический смысл линейной зависимости

Лекция 8.
§ 14. Ранг матрицы
Ранг матрицы и линейная зависимость. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы.
§ 15. Базис и размерность линейного пространства
Определения. Координаты вектора. Переход к другому базису.

Лекция 9.

Глава V. Векторная алгебра
§ 16. Координаты вектора на оси
§ 17. Аффинная (общая декартова) система координат. Координаты точки
§ 18. Проекции вектора
Проекции вектора на плоскости. Проекции вектора в пространстве. Проекции вектора и координаты.

Лекция 10.
§ 19. Скалярное произведение
Определение и основные свойства. Ортонормированный базис. Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе.
§ 20. Векторное и смешанное произведения векторов
Ориентация в вещественном пространстве. Основные факты. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах.
§ 21. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат
Ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

Лекция 11.

Глава VI. Системы линейных алгебраических уравнений
§ 22. Основные задачи теории решения систем линейных алгебраических уравнений
Терминология. Компактная запись системы. Эквивалентность систем.
§ 23. Системы с квадратной невырожденной матрицей
§ 24. Системы общего вида. Общее решение системы
Совместность системы. Схема исследования совместной системы. Общее решение системы. Однородные системы.
§ 25. Метод Гаусса исследования и решения систем уравнений
Системы с трапециевидной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений. Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей.

Лекция 12.

Глава VII. Геометрические свойства решений системы линейных алгебраических уравнений
§ 26. Линейное подпространство решений однородной системы
Линейное подпространство линейного пространства. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное подпространство арифметического пространства. Фундаментальная система решений. Общее решение системы.
§ 27. Линейное многообразие решений неоднородной системы
Линейное многообразие в линейном пространстве. Множество решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное многообразие в арифметическом пространстве. Общее решение системы

Знать определения понятий и формулировки теорем по программе курса

Уметь доказывать теоремы, ориентироваться в логической структуре курса, уметь пользоваться алгоритмами.

Овладеть навыками математических доказательств и навыками решения задач