Математический анализ. Теория функций одной переменной

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Будет также полезен школьникам, углублённо занимающимся математикой.

Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Элементы теории множеств и вещественные числа», «Теория числовых последовательностей», «Предел и непрерывность функции», «Дифференцируемость функции», «Приложения дифференцируемости». Мы познакомимся с понятием множества, дадим строгое определение вещественного числа и изучим свойства вещественных чисел. Затем поговорим о числовых последовательностях и их свойствах. Это позволит рассмотреть понятие числовой функции, хорошо знакомое школьникам, на новом, более строгом уровне. Мы введём понятие предела и непрерывности функции, обсудим свойства непрерывных функций и их применение для решения задач.

Во второй части курса мы дадим определение производной и дифференцируемости функции одной переменной и изучим свойства дифференцируемых функций. Это позволит научиться решать такие важные прикладные задачи, как приближённое вычисление значений функции и решение уравнений, вычисление пределов, исследование свойств функции и построение её графика.

Форма обучения заочная (дистанционная).
Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объёме средней школы (11 классов).

Лекция 1. Элементы теории множеств.
Лекция 2. Понятие вещественного числа. Точные грани числовых множеств.
Лекция 3. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Лекция 4. Числовые последовательности и их свойства.
Лекция 5. Монотонные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Лекция 6. Понятие функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Лекция 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
Лекция 8. Монотонные функции. Обратная функция.
Лекция 9. Простейшие элементарные функции и их свойства: показательная, логарифмическая и степенная функции.
Лекция 10. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Замечательные пределы. Равномерная непрерывность функции.
Лекция 11. Понятие производной и дифференциала. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.
Лекция 12. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции.
Лекция 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные параметрически заданных функций.
Лекция 14. Основные свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля и Лагранжа.
Лекция 15. Теорема Коши. Первое правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Лекция 16. Второе правило Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Лекция 17. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме, в форме Лагранжа и Коши. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций. Приложения формулы Тейлора.
Лекция 18. Достаточные условия экстремума. Асимптоты графика функции. Выпуклость.
Лекция 19. Точки перегиба. Общая схема исследования функции. Примеры построения графиков.

Знать:

• основные понятия математического анализа, связанные с теорией числовых последовательностей и функций одной переменной;
• базовые принципы математических доказательств;
• утверждения (теоремы), относящиеся к данным разделам математического анализа и идеи их доказательств.

Уметь:

• самостоятельно проводить исследования с целью выяснения истинности различных математических утверждений;
• решать вычислительные задачи, обосновывая свои выкладки строгими логическими заключениями.

Владеть:

• теоретическими знаниями в области теории функций одной переменной;
• аппаратом математических доказательств для решения теоретических и практических задач в данной и других областях математики. 

Общекультурные:

• Способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, способность владеть культурой мышления (OK-8);
• Способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную pечь, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-9);
• Способность к саморазвитию, самореализации, приобретению новых знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-11).

Профессиональные:
01.00.00 — Математика и механика
На уровне бакалавриата:
01.03.01 - Математика

• Способность использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1);
• Способность осуществлять подбор, изучение и обобщение научной литературы и методических материалов (ПК-18).

01.03.02 — Прикладная математика и информатика

• Способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
• Способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Иитернет и из других источников (ПК-7).

01.03.04 — Прикладная математика

• Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК - 3);
• Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7).

На уровне подготовки кадров высшей квалификации направления
01.00.00 — Математика и механика у аспирантов формируется следующая универсальная компетенция:

• Способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерирование новых идей при решении исследовательских и практических задач, в том числе в междисциплинарных областях (УК-1).