Математический анализ. Интегрирование и функции многих переменных

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Может быть также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.

Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета во втором семестре. Будут представлены разделы «Неопределенный интеграл и методы его вычисления», «Определенный интеграл», «Приложения определенного интеграла», «Предел и непрерывность функции многих переменных», «Дифференцируемость функции многих переменных».  Мы познакомимся с понятием интегрирования как операции, обратной к дифференцированию, изучим основные методы интегрирования и классы функций, интегрируемых стандартными методами. Затем мы рассмотрим определенный интеграл Римана как предел интегральных сумм, изучим основные свойства определенного интеграла. С помощью основной теоремы интегрального исчисления установим связь между определенным и неопределенным интегралом. Далее мы познакомимся с обобщением определенного интеграла – несобственным интегралом. В качестве приложения интеграла Римана рассмотрим задачи вычисления длины дуги кривой, площади плоской области, объема тела. В завершение первой части изучим некоторые методы приближенного вычисления определенного интеграла.

Во второй части курса мы дадим определение многомерного вещественного пространства и действующей на нем функции многих переменных. Изучим понятия предела и непрерывности функции многих переменных, рассмотрим основные свойства непрерывных функций. Затем перейдем к понятию дифференцируемости функции многих переменных, докажем различные теоремы о свойствах дифференцируемых функций и познакомимся с такими приложениями дифференцируемости функций многих переменных как решение систем функциональных уравнений, задача о функциональной зависимости и поиск экстремумов (безусловных и условных) функций многих переменных.

Форма обучения заочная (дистанционная)

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.

Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

В открытом доступе вы можете ознакомиться с видеолекциями первых двух недель, остальные материалы станут доступны после оплаты курса. 

Курс рассчитан на бакалавров 1-2 года обучения. Является продолжением курса «Математический анализ. Теория функций одной переменной».

Требуется знание элементарной математики в объеме средней школы (11 классов) и знакомство с курсом математического анализа, читаемого в университетах в 1 семестре.

Лекция 1. Неопределенный интеграл. Основные понятия.
Лекция 2. Интегрирование рациональных дробей.
Лекция 3. Интегрирование различных типов функций.
Лекция 4. Определенный интеграл. Основные понятия.
Лекция 5. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла.
Лекция 6. Формула Ньютона-Лейбница. теоремы о среднем.
Лекция 7. Несобственный интеграл.
Лекция 8. Геометрические приложения определенного интеграла. Длина кривой и площадь области. 
Лекция 9. Геометрические приложения определенного интеграла. Объем тела и площадь поверхности вращения.
Лекция 10. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Лекция 11. Понятие функции многих переменных.
Лекция 12. Непрерывность функции многих переменных. 
Лекция 13. Дифференцирование функции многих переменных.
Лекция 14. Производная по направлению и градиент. Производные и дифференциалы высших порядков.
Лекция 15. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции многих переменных.
Лекция 16. Функции, заданные неявно. Система функциональных уравнений.
Лекция 17. Взаимно однозначные отображения. Задача о функциональной зависимости.
Лекция 18.  Условный экстремум функции многих переменных.

В результате освоения курса слушатель получит представление о фундаментальных понятиях математического анализа – интеграле и функции многих переменных, познакомится с методами вычисления определенного и неопределенного интеграла и научится применять эти методы при решении прикладных задач, а также изучит свойства функций многих переменных и способы решения задач, связанных с такими функциями.

В результате изучения дисциплины «Математический анализ, Интегрирование и функции многих переменных» у студентов формируются следующие компетенции:
Общекультурные:

• Способность к обобщению, аналитическому восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, способность владеть культурой мышления (ОК-8);
• Способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-9);
• Способность к саморазвитию. самореализации, приобретению новых знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-11).

Профессиональные:
01.00.00 — Математика и механика
На уровне бакалавриата:
01.03.01 - Математика

• Способность использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК-1);
• Способность осуществлять подбор, изучение и обобщение научной литературы и методических материалов (ПК-18).

01.03.02 — Прикладная математика и информатика

• Способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя ‘современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
• Способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников (ПК-7).

01.03.04 — Прикладная математика

• Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
• Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7).

На уровне подготовки кадров высшей квалификации направления
01.00.00 — Математика и механика у аспирантов формируется следующая универсальная компетенция:

• Способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерирование новых идей при решении исследовательских и практических задач, в том числе в междисциплинарных областях (УК-1).