Высшая алгебра

Линейная алгебра — это один из важнейших разделов математики. Методы линейной алгебры широко применяются не только для решения задач геометрии, математического анализа, теории динамических систем, механики сплошных сред, теории представлений, но и в машинном обучении, анализе данных, криптографии. 

Курс «Высшая алгебра» предназначен для студентов физико-математических, технических и естественнонаучных специальностей, при этом он может быть полезен всем, кто изучает экономику, социологию и IT. Этот онлайн-курс дополняет стандартные дисциплины линейной алгебры и аналитической геометрии в вузах.

Цель онлайн-курса — расширить знания студентов о векторных пространствах, линейных отображениях, матрицах и квадратичных формах. За время обучения студенты, в частности, научатся находить жорданову форму матрицы линейного оператора и применять её для решения прикладных задач кибернетики и математической физики.

Предполагается, что студенты уже владеют базовыми понятиями линейной алгебры и знакомы с основными операциями над матрицами: умеют складывать и умножать матрицы, вычислять определитель квадратной матрицы и находить обратную матрицу.

Во время обучения студентам также предстоит решать практические задачи, в которых используются методы линейной алгебры, и учиться объяснять, почему предложенные алгоритмы на самом деле работают.

Материалы курса разработаны группой исследователей Математического центра в Академгородке (соглашение с Министерством науки и высшего образования РФ номер 075-15-2019-1675).

Курс состоит из 10 недель обучения.

Образовательные активности каждой недели включают:

• Просмотр видеолекций

• Ответы на вопросы после лекций (на закрепление материалов)

• Работа с дополнительными источниками (чтение текстов, решение задач по теме недели)

• Выполнение оцениваемого теста (ответы на вопросы, решение небольших задач) по итогам недели

Кроме того, студенты должны пройти итоговый тест по материалам всего курса для получения итоговой оценки.

1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.: МЦНМО, 2019.

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Том первый: Основы алгебры. Том второй: Линейная алгебра. Том третий: Основные структуры алгебры.– М.: МЦНМО, 2009. 

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Лань, 2007. 

4. Поскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – СПб.: Лань, 2010.

5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Лань, 2008.

6. Пожидаев А.П., Сверчков С.Р., Шестаков И.П. Лекции по алгебре, Ч.1-2, Новосибирск: НГУ, 2012.

7. Васильев А.В., Мазуров В.Д. Высшая алгебра: В 2ч.: Конспект лекций // Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010.

Модуль 1. Векторные пространства

• Векторы на плоскости и в пространстве

• Векторные пространства

• Базис векторного пространства

• Координаты векторов

Модуль 2. Векторные подпространства

• Подпространства векторного пространства. Линейная оболочка

• Сумма и пересечение подпространств

Модуль 3. Скалярное произведение

• Скалярное произведение. Евклидовы пространства

• Метод ортогонализации. Матрица Грама

• Ортогональное дополнение

Модуль 4. Линейные отображения

• Что такое линейное отображение?

• Матрица линейного отображения

• Ядро и образ линейного отображения

Модуль 5. Матрицы и их свойства

• Что такое ранг матрицы и каковы его свойства?

• Как изменяется матрица отображения при переходе к новому базису?

• Сопряжённое линейное отображение

• Ортогональные операторы и матрицы

Модуль 6. Системы линейных уравнений и их приложения

• Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

• Решаем задачу для фанерного завода методом Гаусса

• Однородные системы линейных уравнений

Модуль 7. Собственные числа

• Собственные числа и собственные векторы

• Как найти собственные значения?

• Полупростые операторы

• Нильпотентные линейные преобразования

Модуль 8. Жорданова форма

• Что такое жорданова нормальная форма и для чего она применяется?

• Ядерное разложение пространства

• Разложение Жордана — Шевалле

• Примеры разложений Жордана — Шевалле

• Нильпотентные операторы

• Как найти канонический базис нильпотентного оператора?

• Как найти жорданову нормальную форму?

Модуль 9. Функции от матриц

• Как вычислить многочлен от матрицы?

• Анализ линейных рекуррентных последовательностей

• Матричная экспонента

Модуль 10. Симметрические и ортогональные линейные операторы

• Лемма Шура для вещественных матриц

• Симметрические операторы

• Положительно определённые матрицы

• Канонический вид матрицы ортогонального оператора

• Сингулярное разложение матрицы

• Полярное разложение линейного оператора

• Билинейные функции

• Нормальный вид матрицы билинейной функции

• Квадратичные формы на векторном пространстве

• Максимум и минимум квадратичной функции

Итоги

В результате освоения дисциплины слушатель должен:

• Знать базовые понятия современной математики в части высшей алгебры и иметь современное представление о роли алгебры среди различных областей математики; 

• знать формулировки и понимать смысл и сущность классических задач математики, для решения которых применяются методы высшей алгебры; 

• уметь формулировать и доказывать основные утверждения о свойствах и взаимосвязях базовых понятий высшей алгебры; 

• уметь применять основные приемы решения практических и теоретических задач высшей алгебры.

• Способен применять фундаментальные знания, полученные в области математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности (ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 01.03.01, ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 01.03.02, ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 02.03.02, ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 02.03.03);

• Способен использовать фундаментальные знания, полученные в области математических и естественных наук, в профессиональной деятельности (ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 01.03.03);

• Способен применять знание фундаментальной математики и естественно-научных дисциплин при решении задач в области естественных наук и инженерной практике (ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 01.03.04);

• Способен консультировать и использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в профессиональной деятельности (ОПК-1 ФГОС ВО 3++ 02.03.01).