Математический анализ

Курс «Математический анализ» является обязательным (базовым) для студентов большинства направлений подготовки в связи с дальнейшим использованием его содержания как основы других дисциплин. Владение материалом курса определяет уровень будущего специалиста и его профессиональные возможности в решении прикладных и исследовательских задач.

Акцент курса ставится на понимание и дальнейшее практическое использование полученных знаний. Для достижения этой цели разделы курса связаны единым подходом, включающим единство используемых обозначений, формат изложения и построения отдельных тем, принципы построения содержательной основы. При рассмотрении нового материала устанавливаются связи с изученным ранее, что позволяет сформировать комплексное представление и понимание разделов на глубоком уровне. Каждое теоретическое положение сопровождается рядом практических примеров, иллюстрирующих все имеющиеся особенности.

Понимание концептуальных основ достигается также за счет выделения особенностей рассматриваемых понятий, свойств, утверждений и решения задач моделирования. Для упрощения вычислительного процесса и концентрации внимания на сути проблемы для отдельных заданий в курсе используется специальное программное обеспечение, что позволит повысить уровень информационной культуры, ознакомиться с возможностями и ограничениями использования программного обеспечения для автоматизации математических расчетов. В части тем включается ряд понятий численных методов, что является хорошим заделом для дальнейшего более глубокого рассмотрения этого материала самостоятельно или в рамках отдельного курса.

Практическая направленность курса отражается в большом количестве тестовых заданий и прикладных задач разного уровня сложности. По результатам выполнения тестов будет представлен анализ их выполнения и диагностика полноты освоения материала с указанием, при необходимости, дополнительного рассмотрения части материала, что является гарантией успешного изучения представленного курса при условии соблюдения всех рекомендаций и четкого следования указаниям.

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций, изучение текстовых материалов с примерами, иллюстрирующими теоретические положения, выполнение многовариантных тестовых заданий с анализом ответов и с рекомендациями обучающимся, а также выполнение учебных заданий разного уровня сложности. Предусмотрено промежуточное контрольное тестирование по каждому разделу курса и итоговое контрольное тестирование по всему содержанию курса.

В курсе Вам доступна на бесплатной основе первая неделя курса для ознакомления с материалами и структурой курса для принятия решения о его полном освоении. Для получения доступа ко всем материалам курса с прохождением итоговой аттестации с прокторингом и получением подтвержденного сертификата, Вам необходимо провести оплату в размере 2800 рублей.

• Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., и др. Вся высшая математика. Т.1. – М:Эудиториал УРСС, 2003, 328 с.
• Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика. Т.2. – М:Эудиториал УРСС, 2004, 192 с.
• Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика. Курс лекций для технических вузов: в 2 кн. Кн. 1. – М.: Издательский центр «Академия», 2009, 416 с.
• Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика. Курс лекций для технических вузов: в 2 кн. Кн. 2. – М.: Издательский центр «Академия», 2009, 448 с.

Для освоения материала курса требуется умение выполнять операции над числами, обрабатывать математические выражения, записанные в символьном виде, знание понятия функции, основных видов функций, умение строить и анализировать графики функций, решать уравнения, неравенства и их системы.

Раздел 1. Введение в математический анализ
Тема 1.1. Множества
Тема 1.2. Комплексные числа
Тема 1.3. Понятие функции
Тема 1.4. Элементарные функции
Тема 1.5. Сложные функции
Тема 1.6. Многочлены
Тема 1.7. Дробно-рациональные функции
Тема 1.8. Последовательности Действительных чисел
Тема 1.9. Предел последовательности
Тема 1.10. Особенности нахождения пределов последовательностей
Тема 1.11. Предел функции
Тема 1.12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Тема 1.13. Замечательные пределы
Тема 1.14. Раскрытие неопределенностей
Тема 1.15. Непрерывность функции
Тема 1.16. Точки разрыва функции. Асимптоты графика функции

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 2.1. Производная функции
Тема 2.2. Дифференциал функции
Тема 2.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
Тема 2.4. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
Тема 2.5. Дифференцирование сложной функции,функции, заданной неявно и параметрически
Тема 2.6. Производные и дифференциалы высших порядков
Тема 2.7. Основные теоремы дифференциального исчисления
Тема 2.8. Правило Лопиталя
Тема 2.9. Формула Тейлора
Тема 2.10. Приложения Формулы Тейлора
Тема 2.11. Монотонность функции. Экстремумы
Тема 2.12. Направление выпуклости. Точки перегиба
Тема 2.13. Комплексное исследование функции. Построение графика функции
Тема 2.14. Геометрические приложения дифференциального исчисления
Тема 2.15. Механические приложения производных функций
Тема 2.16. Приближенные вычисления. Численное решение уравнений

Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной
Тема 3.1. Неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Интегралы от элементарных функций
Тема 3.2. Методы интегрирования. Замена переменной
Тема 3.3. Методы интегрирования. Интегрирование по частям
Тема 3.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Тема 3.5. Интегрирование тригонометрических функций
Тема 3.6. Интегрирование иррациональных функций
Тема 3.7. Определенный интеграл
Тема 3.8. Свойства определенного интеграла
Тема 3..9. Методы вычисления определенного интеграла
Тема 3.10. Приближенное вычисление определенного интеграла
Тема 3.11. Вычисление площади плоской фигуры
Тема 3.12. Вычисление объемов тел
Тема 3.13. Вычисление длины дуги кривой
Тема 3.14. Вычисление площади поверхности вращения
Тема 3.15. Физические приложения определенного интеграла. Моменты и центр масс материальной кривой
Тема 3.16. Физические приложения определенного интеграла. Работа, электричество, давление
Тема 3.17. Интегралы с бесконечными пределами
Тема 3.18. Интегралы от неограниченных функций

По окончании освоения дисциплины обучающийся будет способен:

• выявлять, классифицировать задачи, решение которых возможно путем использования аппарата математического анализа, и реализовать решение этих задач;
• применять методы анализа функции одной действительной переменой (дифференциальные и интегральные) в решении прикладных и исследовательских задач;
• составлять математические модели поставленных задач и решать их;
• исследовать выявленную и представленную аналитически или графически функциональную зависимость процессов, явлений в различных областях знаний;
• вычислять дифференциальные и интегральные характеристики механических, физических, экономических, социальных процессов и явлений;
• производить приближенные вычисления без использования средств автоматизации и оценивать погрешность таких вычислений;
• использовать для решения задач анализа специальное программное обеспечение;

• способность к математической формализации задач предметной профессиональной области, выбора наилучших способов решения математически формализованных задач, обработки и анализа результатов численных и натурных экспериментов;
• владение основными математическими методами, необходимыми для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений в области профессиональной инженерно-технической деятельности.