Аналитическая геометрия

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей ВУЗов. Будет также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.
Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по аналитической геометрии, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Векторная алгебра», «Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве», «Кривые и поверхности второго порядка», «Аффинные преобразования».
В первой части курса будет дано понятие вектора, изучены свойства векторов, а также скалярные, векторные и смешанные произведения векторов. Далее мы перейдем к изучению линий и поверхностей первого порядка, каковыми являются прямые и плоскости.
Во второй части будут изучены кривые и поверхности второго порядка, дана их классификация. Кроме этого, мы познакомимся с понятием аффинного преобразования, поймем его геометрический и алгебраический смысл.
Последние две лекции будут посвящены проективной плоскости. Данный теоретический материал позволит нам решать различные задачи, которые также будут разобраны.

Форма обучения заочная (дистанционная). Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объеме средней школы (11 классов).

Лекция 1. Определение вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число. Векторы на прямой. Линейная зависимость векторов.
Лекция 2. Коллинеарность и компланарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и координаты. Геометрическое описание координат векторов.
Лекция 3. Скалярное произведение векторов. Метрические коэффициенты базиса. Скалярное произведение в координатах.
Лекция 4. Аффинные и прямоугольные координаты. Полярные координаты на плоскости и в пространстве.
Лекция 5. Матрицы и операции над ними. Переход от одного базиса к другому. Переход от одной аффинной системы координат к другой.
Лекция 6. Определение ортогональной матрицы. Преобразование прямоугольных координат.
Лекция 7. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Ориентированная площадь и ориентированный объем. Векторное и смешанное произведение векторов.
Лекция 8. Векторные уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Вычисление расстояний.
Лекция 9. Уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат.
Лекция 10. Уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Полупространства. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат.
Лекция 11. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.
Лекция 12. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Определение уравнения линии второго порядка по ортогональным инвариантам.
Лекция 13. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Фокальное свойство эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка в полярных координатах.
Лекция 14. Пересечение линии второго порядка с прямой. Теоремы единственности для линий второго порядка. Центры линий второго порядка.
Лекция 15. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.
Лекция 16. Касательные к линиям второго порядка. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы.
Лекция 17. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии.
Лекция 18. Определение и свойства аффинных преобразований. Аналитическая запись аффинных преобразований. Аффинная классификация линий второго порядка.
Лекция 19. Определение и свойства изометрических преобразований. Классификация движений плоскости.
Лекция 20. Поверхности второго порядка и матрицы квадратичных функций. Основная теорема о поверхностях второго порядка (без доказательства).
Лекция 21. Эллипсоид и гиперболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конические сечения.
Лекция 22. Параболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Цилиндрические поверхности. Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Лекция 23. Модели проективной плоскости: пополненная плоскость, связка, их изоморфизм. Однородные координаты на проективной плоскости.
Лекция 24. Арифметическая модель проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Знать:

• основные понятия аналитической геометрии;
• базовые принципы математических доказательств;
• утверждения (теоремы), относящиеся к данным разделам аналитической геометрии и идеи их доказательств.

Уметь:

• самостоятельно проводить исследования с целью выяснения истинности различных математических утверждений;
• решать вычислительные задачи, обосновывая свои выкладки строгими логическими заключениями.

Владеть:

• теоретическими знаниями в области аналитической геометрии;
• аппаратом математических доказательств для решения теоретических и практических задач в данной и других областях математики. 

B результате изучения дисциплиИны «Аналитическая геометрия» у студентов формируются следующие компетенции:
Общекультурные:

• Способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, способность владеть культурой мышления (OK-8);
• Способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-9);
• Способность к саморазвитию, самореализации, приобретению новых знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-11).

Профессиональные:
01.00.00 — Математика и механика
На уровне бакалавриата:
01.03.01 - Математика

• Способность использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (TIK-1);
• Способность осуществлять подбор, изучение и обобщение научной литературы и методических материалов (ПК-18).

01.03.02 — Прикладная математика и информатика

• Способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (TIK-2);
• Способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников (ПК-7).

01.03.04 — Прикладная математика

• Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК - 3);
• Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7).

На уровне подготовки кадров высшей квалификации направления
01.00.00 — Математика и механика у аспирантов формируется следующая универсальная компетенция:

• Способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерирование новых идей при решении исследовательских и практических задач, в том числе в междисциплинарных областях (УК-1).