course language
course duration
for credit at your university
Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей ВУЗов. Будет также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.
Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по аналитической геометрии, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Векторная алгебра», «Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве», «Кривые и поверхности второго порядка», «Аффинные преобразования».
В первой части курса будет дано понятие вектора, изучены свойства векторов, а также скалярные, векторные и смешанные произведения векторов. Далее мы перейдем к изучению линий и поверхностей первого порядка, каковыми являются прямые и плоскости.
Во второй части будут изучены кривые и поверхности второго порядка, дана их классификация. Кроме этого, мы познакомимся с понятием аффинного преобразования, поймем его геометрический и алгебраический смысл.
Последние две лекции будут посвящены проективной плоскости. Данный теоретический материал позволит нам решать различные задачи, которые также будут разобраны.
Форма обучения заочная (дистанционная). Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).
Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объеме средней школы (11 классов).
Лекция 1. Определение вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число. Векторы на прямой. Линейная зависимость векторов.
Лекция 2. Коллинеарность и компланарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и координаты. Геометрическое описание координат векторов.
Лекция 3. Скалярное произведение векторов. Метрические коэффициенты базиса. Скалярное произведение в координатах.
Лекция 4. Аффинные и прямоугольные координаты. Полярные координаты на плоскости и в пространстве.
Лекция 5. Матрицы и операции над ними. Переход от одного базиса к другому. Переход от одной аффинной системы координат к другой.
Лекция 6. Определение ортогональной матрицы. Преобразование прямоугольных координат.
Лекция 7. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Ориентированная площадь и ориентированный объем. Векторное и смешанное произведение векторов.
Лекция 8. Векторные уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Вычисление расстояний.
Лекция 9. Уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат.
Лекция 10. Уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Полупространства. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат.
Лекция 11. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.
Лекция 12. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Определение уравнения линии второго порядка по ортогональным инвариантам.
Лекция 13. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Фокальное свойство эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка в полярных координатах.
Лекция 14. Пересечение линии второго порядка с прямой. Теоремы единственности для линий второго порядка. Центры линий второго порядка.
Лекция 15. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.
Лекция 16. Касательные к линиям второго порядка. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы.
Лекция 17. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии.
Лекция 18. Определение и свойства аффинных преобразований. Аналитическая запись аффинных преобразований. Аффинная классификация линий второго порядка.
Лекция 19. Определение и свойства изометрических преобразований. Классификация движений плоскости.
Лекция 20. Поверхности второго порядка и матрицы квадратичных функций. Основная теорема о поверхностях второго порядка (без доказательства).
Лекция 21. Эллипсоид и гиперболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конические сечения.
Лекция 22. Параболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Цилиндрические поверхности. Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Лекция 23. Модели проективной плоскости: пополненная плоскость, связка, их изоморфизм. Однородные координаты на проективной плоскости.
Лекция 24. Арифметическая модель проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
Знать:
Уметь:
Владеть:
B результате изучения дисциплиИны «Аналитическая геометрия» у студентов формируются следующие компетенции:
Общекультурные:
Профессиональные:
01.00.00 — Математика и механика
На уровне бакалавриата:
01.03.01 - Математика
01.03.02 — Прикладная математика и информатика
01.03.04 — Прикладная математика
На уровне подготовки кадров высшей квалификации направления
01.00.00 — Математика и механика у аспирантов формируется следующая универсальная компетенция:
Почтовый адрес: 119234, Москва, Ломоносовский пр. д. 27 корп. 1, комната Г-729
Телефон: +7 (495) 938-21-39
Емейл тех.поддержки: support@distant.msu.ru
course language
course duration
for credit at your university
Доктор физико математических наук
Position: профессор, заведующий кафедрой общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова
Электронный сертификат слушателю выдается при достижении 41% от итоговой оценки за курс и успешной итоговой аттестации. Сертификат с отличием, как правило, выдается при достижении 82% от итоговой оценки за курс и успешной аттестации с баллом за итоговый тест от 82%.
A participant certificate is usually issued upon reaching 60 % of the overall rating, subject to the delivery of works before a hard deadline. The honors certificate is usually issued upon reaching 90 % of the overall rating, subject to the delivery of the work before the soft deadline.