Уравнения математической физики

Курс ориентирован на бакалавров, магистров и специалистов, специализирующихся по математическим, инженерным или естественнонаучным дисциплинам, а также на преподавателей ВУЗов. Цель курса – познакомить слушателя с кругом классических вопросов из области уравнений с математической физикой и научить слушателя основным методам исследования таких уравнений. 
Курс охватывает классический материал по уравнениям математической физики (уравнениям в частных производных) в рамках одного семестра обучения. Будут представлены разделы «Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка», «Классификация линейных уравнений», «Волновое уравнение», «Параболическое уравнение», «Фундаментальные решения», «Уравнение Лапласа».  
Мы познакомимся с классическими постановками задач – задача Коши, краевая задача. Освоим основные методы исследования уравнений – непосредственное интегрирование, метод продолжения решений, метод Фурье, метод фундаментальных решений, метод потенциалов. Мы часто будем вспоминать о выводе этих уравнений в задачах математической физики и о границах применимости наших моделей.
Курс направлен на решение практических задач (в математической их постановке). Здесь будет не так много доказательств теорем, но будет много методов решения этих задач.

Форма обучения заочная (дистанционная).

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видео-лекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное (аналитическое) решение практических задач.
 

Для освоения курса необходимо свободное владение слушателями понятиями и навыками математического анализа (дифференцирование, интегрирование, исследование функций) и умение решать обыкновенные дифференциальные уравнения.
 

1. Первое знакомство.
Вводное слово. Основные принципы работы с уравнениями математической физики. Примеры простейших уравнений. Классификация. Решение простых уравнений сведением к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Замена переменных в уравнении.

2. Уравнения первого порядка – линейные и квазилинейные.
Линейные уравнения. Поиск подходящей замены – составление и решение систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Первые интегралы системы. Характеристики. Квазилинейные уравнения. Поиск решения в неявном виде.

3. Задача Коши. Классификация линейных уравнений второго порядка. 
Постановка задачи Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Классификация линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Приведение к каноническому виду. 

4. Гиперболические, параболические и эллиптические уравнения.
Классификация линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами на плоскости. Гиперболический, параболический и эллиптический тип. Решение гиперболических уравнений. Задачи с начальными и краевыми условиями.

5. Уравнение струны.
Одномерное волновое уравнение на всей оси. Прямая и обратная волна. Формула Даламбера. Интеграл Дюамеля. Краевые условия для уравнения на полуоси. Основные типы краевых условий. Продолжение решения. Случай конечного отрезка.

6. Метод Фурье на примере уравнения струны. 
Идея метода Фурье. Первый шаг – поиск базиса. Второй шаг – получение обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты Фурье. Третий шаг – учет начальных данных. Сходимость рядов.

7.  Уравнение диффузии (конечный отрезок).
Вывод уравнения. Постановка задач (начальные и краевые условия). Метод Фурье. Учет правой части и неоднородности в краевых условиях. Сходимость рядов.

8. Уравнение диффузии (вся ось).
Преобразование Фурье, формула обращения. Решение уравнения с помощью преобразования Фурье. Теорема – обоснование метода (два случая). Формула Пуассона. Случай уравнения с правой частью.

9. Обобщенные функции.
Запись формулы Пуассона в виде свертки. Запись в виде свертки решения уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Класс Шварца. Примеры функций из класса. Определение обобщенных функций, связь с классическими функциями. Умножение обобщенной функции на основную, дифференцирование. Сходимость обобщенных функций. Примеры обобщенных функций.

10. Работа с обобщенными функциями. 
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в обобщенных функциях. Преобразование Фурье обобщенных функций. Свертка. Прямое произведение. Носитель обобщенной функции. Решение неоднородного одномерного уравнения теплопроводности с помощью фундаментального решения. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора на отрезке.

11. Фундаментальные решения.
Вывод формулы Пуассона для многомерного уравнения теплопроводности. Вывод формулы Киркгофа. Вывод формулы Пуассона для волнового уравнения. Решение задач методом разделения переменных, методом суперпозиции. 

12. Уравнение Лапласа.
Вывод уравнения Лапласа. Векторное поле – потенциал, поток через поверхность. Объемный потенциал. Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя. Логарифмический потенциал.

13. Задача Дирихле, Неймана и функции Грина.
Гармонические функции. Слабый принцип экстремума. Теорема Гарнака. Строгий принцип максимума. Теорема единственности. Теорема о среднем. Бесконечная гладкость. Теорема Лиувилля. Формула Грина. Функция Грина, ее свойства. Решение задачи Пуассона с условиями Дирихле с помощью функции Грина. Другие краевые задачи. Построение функции Грина методом отражений.  

14.Многомерный метод Фурье.
Решение задач методом Фурье. Различные краевые условия. Функции Бесселя. Полиному Лежандра. Обзор пройденного курса. Подведение итогов.

Знать:

• основные типы уравнений математической физики;
• постановку основных начальных и краевых задач;
• основные методы решения задач математической физики

Уметь:

• классифицировать нелинейное уравнение;
• сделать замену в уравнении;
• решить уравнение, сводящееся к одномерному;
• решить линейное уравнение первого порядка;
• решить квазилинейное уравнение первого порядка;
• классифицировать линейное уравнение с постоянными коэффициентами, привести его к каноническому виду;
• классифицировать линейное уравнение с переменными коэффициентами на плоскости, привести его к каноническому виду;
• найти решение гиперболического уравнения на плоскости в виде прямой и обратной волны;
• решить уравнение струны на оси по формуле Даламбера и Дюамеля;
• решить уравнение струны на полуоси и на отрезке методом продолжения решения;
• решить уравнение струны на отрезке методом Фурье;
• решить уравнение теплопроводности на отрезке методом Фурье;
• решить уравнение теплопроводности на полуоси по формуле Пуассона;
• взять производную обобщенной функции, умножить ее на гладкую, решить дифференциальное уравнение в обобщенных функциях;
• найти предел обобщенных функций, взять преобразование Фурье обобщенной функции, вычислить свертку;
• найти фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора;
• решить многомерное уравнение теплопроводности в пространстве;
• решить двумерное волновое уравнение на плоскости;
• решить волновое уравнение в пространстве;
• найти решение уравнения Лапласа по формуле объемного потенциала, потенциала простого слоя, потенциала двойного слоя, плоского потенциала площади, плоского логарифмического потенциала;
• построить функцию Грина методом отражений;
• решить задачу Пуассона для уравнения Лапласа с помощью функции Грина;
• решить задачу Пуассона для уравнения Лапалса с помощью метода Фурье.