Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

Теория групп, состоящая в изучении симметрий различных объектов, возникающих в природе, математике, науке и искусстве, стала в XIX–XX веках одним из центральных разделов математики. Сегодня она имеет огромное и все возрастающее прикладное значение (кристаллография, физика ядер и элементарных частиц, физика твердого тела, квантовая химия, обработка сигналов, криптография и теория кодирования и т. д.).

Курс адресован двум аудиториям. С одной стороны, он содержит весь материал, обычно включаемый в общие курсы алгебры, читаемые на 1–2 курсе студентам математических специальностей (математика, прикладная математика, теоретическая информатика). Он покрывает все относящиеся к теории групп потребности других математических курсов и может рассматриваться как один из необходимых модулей для получения общематематического образования. С другой стороны, в силу прикладного значения, знакомство с основами теории групп абсолютно необходимо многим физикам, химикам, геологам и инженерам, и настоящий курс должен дать им возможность ознакомиться с необходимыми разделами теории групп без прохождения полного курса алгебры для математиков.

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов. Курс состоит из:

1. 20 часовых лекций
2. подробного электронного конспекта 300—400 страниц
3. примерно 500—600 упражнений и задач разного уровня сложности
4. тестов и финального экзамена

Для успешного освоения курса необходимы знания основ математики на уровне базовой школьной программы.

Неделя 1. Вводная лекция
Неделя 2. Основные определения и примеры

• Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп;
• Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы;
• Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа.

Неделя 3.

• Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса;
• Нормальные подгруппы и фактор-группы;
• Классы сопряженности.

Неделя 4. Гомоморфизмы групп

• Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме;
• Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов.

Неделя 5. Группы перестановок

• Симметрическая группа, циклы, транспозиции;
• Знак перестановки и знакопеременная группа.

Неделя 6. Действия групп на множестве

• Определение и примеры действий групп;
• Орбита, стабилизатор, неподвижные точки;
• Классификация действий групп;
• Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения.

Неделя 7. Коммутаторы и коммутант

• Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами;
• Коммутант симметрической и полной линейной групп.

Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность

• Прямые и полупрямые произведения групп, расширения;
• Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы.

Неделя 9. p-группы и теоремы Силова

• p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка;
• Теоремы Силова с доказательствами.

Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями

• Свободные группы, соотношения в группах;
• Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4.

Неделя 11. Геометрические примеры групп

• Группы кос и их задание образующими и соотношениями;
• Кокстеровское задание групп перестановок;
• Группы, порожденные отражениями.

Неделя 12. Классификация групп малых порядков

• Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел;
• Классификация групп порядка 8 и 12;
• Классификация простых групп порядка 60.

Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзамен

Итогами курса станут умение обучающихся владеть терминологией и базовыми фактами теории групп, а также умение применять методы теории групп в различных областях математики и ее приложениях.

В результате освоения курса студент должен будет:

1. Знать:
   • основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп
   • тенденции развития теории групп
2. Уметь:
   • применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем
   • использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии
   • применять методы теории групп в различных областях математики

В результате освоения курса студент должен знать:

• основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп;
• тенденции развития теории групп.

В результате освоения курса студент должен уметь:

• применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем;
• использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии;
• применять методы теории групп в различных областях математики.

В результате освоения курса студент должен владеть понятийным аппаратом.