up
  • Russian

    course language

  • 16 weeks

    course duration

  • от 4 до 5 часов в неделю

    needed to educate

  • 2 credit points

    for credit at your university

В настоящем курсе детально обсуждаются как основные понятия и важнейшие факты общей теории групп, так и несколько более глубоких результатов, относящихся к арифметическим свойствам и структуре конечных групп, заданию групп образующими и соотношениями и действиям групп. Кроме теоретического материала и краткого обсуждения истории и приложений, все эти темы будут поддержаны большим количеством тщательно подобранных задач и упражнений различного уровня трудности для самостоятельной работы.

About

Теория групп, состоящая в изучении симметрий различных объектов, возникающих в природе, математике, науке и искусстве, стала в XIX–XX веках одним из центральных разделов математики. Сегодня она имеет огромное и все возрастающее прикладное значение (кристаллография, физика ядер и элементарных частиц, физика твердого тела, квантовая химия, обработка сигналов, криптография и теория кодирования и т. д.).

Курс адресован двум аудиториям. С одной стороны, он содержит весь материал, обычно включаемый в общие курсы алгебры, читаемые на 1–2 курсе студентам математических специальностей (математика, прикладная математика, теоретическая информатика). Он покрывает все относящиеся к теории групп потребности других математических курсов и может рассматриваться как один из необходимых модулей для получения общематематического образования. С другой стороны, в силу прикладного значения, знакомство с основами теории групп абсолютно необходимо многим физикам, химикам, геологам и инженерам, и настоящий курс должен дать им возможность ознакомиться с необходимыми разделами теории групп без прохождения полного курса алгебры для математиков.

Format

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов. Содержание курса:

  1. 20 часовых лекций;
  2. подробный электронный конспект (300–400 страниц);
  3. примерно 500–600 упражнений и задач разного уровня сложности;
  4. тесты и финальный экзамен.

Requirements

Для успешного освоения курса необходимы знания основ математики на уровне базовой школьной программы.

Course program

Неделя 1. Вводная лекция.


Неделя 2. Основные определения и примеры

  • Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп
  • Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы
  • Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа

Неделя 3.

  • Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса
  • Нормальные подгруппы и фактор-группы
  • Классы сопряженности

Неделя 4. Гомоморфизмы групп

  • Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме
  • Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов

Неделя 5. Группы перестановок

  • Симметрическая группа, циклы, транспозиции
  • Знак перестановки и знакопеременная группа

Неделя 6. Действия групп на множестве

  • Определение и примеры действий групп
  • Орбита, стабилизатор, неподвижные точки
  • Классификация действий групп
  • Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения

Неделя 7. Коммутаторы и коммутант

  • Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами
  • Коммутант симметрической и полной линейной групп

Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность

  • Прямые и полупрямые произведения групп, расширения
  • Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы

Неделя 9. p-группы и теоремы Силова

  • p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка
  • Теоремы Силова с доказательствами

Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями

  • Свободные группы, соотношения в группах
  • Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4

Неделя 11. Геометрические примеры групп

  • Группы кос и их задание образующими и соотношениями
  • Кокстеровское задание групп перестановок
  • Группы, порожденные отражениями

Неделя 12. Классификация групп малых порядков

  • Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел
  • Классификация групп порядка 8 и 12
  • Классификация простых групп порядка 60

Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзаме

Education results

Итогами курса станут умение обучающихся владеть терминологией и базовыми фактами теории групп, а также умение применять методы теории групп в различных областях математики и ее приложениях.

Education directions

Knowledge

В результате освоения курса студент должен знать:

  • основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп;
  • тенденции развития теории групп.

Skills

В результате освоения курса студент должен уметь:

  • применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем;
  • использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии;
  • применять методы теории групп в различных областях математики.

Abilities

В результате освоения курса студент должен владеть понятийным аппаратом.

Вавилов Николай Александрович

Доктор физико-математических наук
Position: профессор бакалавриата "Математика", СПбГУ

Смирнов Станислав Константинович

Профессор, лауреат Филдсовской премии
Position: руководитель лаборатории им. П.Л. Чебышева

Антипов Михаил Александрович

Кандидат физико-математических наук
Position: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Лавренов Андрей Валентинович


Position: инженер-исследователь кафедры высшей алгебры и теории чисел

Лузгарев Александр Юрьевич

Кандидат физико-математических наук
Position: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Петров Виктор Александрович

Кандидат физико-математических наук
Position: старший научный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева

Пименов Константин Игоревич

Кандидат физико-математических наук
Position: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Синчук Сергей Сергеевич

Кандидат физико-математических наук
Position: постдок лаборатории им. П.Л.Чебышева

Смоленский Андрей Вадимович

Кандидат физико-математических наук
Position: ассистент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Ставрова Анастасия Константиновна

Кандидат физико-математических наук
Position: научный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева

Степанов Алексей Владимирович

Доктор физико-математических наук
Position: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Щеголев Александр Вячеславович

Кандидат физико-математических наук
Position: ассистент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Certificate

A participant certificate is usually issued upon reaching 60 % of the overall rating, subject to the delivery of works before a hard deadline. The honors certificate is usually issued upon reaching 90 % of the overall rating, subject to the delivery of the work before the soft deadline.

Similar courses