Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

Теория групп, состоящая в изучении симметрий различных объектов, возникающих в природе, математике, науке и искусстве, стала в XIX–XX веках одним из центральных разделов математики. Сегодня она имеет огромное и все возрастающее прикладное значение (кристаллография, физика ядер и элементарных частиц, физика твердого тела, квантовая химия, обработка сигналов, криптография и теория кодирования и т. д.).

Курс адресован двум аудиториям. С одной стороны, он содержит весь материал, обычно включаемый в общие курсы алгебры, читаемые на 1–2 курсе студентам математических специальностей (математика, прикладная математика, теоретическая информатика). Он покрывает все относящиеся к теории групп потребности других математических курсов и может рассматриваться как один из необходимых модулей для получения общематематического образования. С другой стороны, в силу прикладного значения, знакомство с основами теории групп абсолютно необходимо многим физикам, химикам, геологам и инженерам, и настоящий курс должен дать им возможность ознакомиться с необходимыми разделами теории групп без прохождения полного курса алгебры для математиков.

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов. Содержание курса:

1. 20 часовых лекций;
2. подробный электронный конспект (300–400 страниц);
3. примерно 500–600 упражнений и задач разного уровня сложности;
4. тесты и финальный экзамен.

Для успешного освоения курса необходимы знания основ математики на уровне базовой школьной программы.

Неделя 1. Вводная лекция.

Неделя 2. Основные определения и примеры

• Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп
• Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы
• Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа

Неделя 3.

• Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса
• Нормальные подгруппы и фактор-группы
• Классы сопряженности

Неделя 4. Гомоморфизмы групп

• Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме
• Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов

Неделя 5. Группы перестановок

• Симметрическая группа, циклы, транспозиции
• Знак перестановки и знакопеременная группа

Неделя 6. Действия групп на множестве

• Определение и примеры действий групп
• Орбита, стабилизатор, неподвижные точки
• Классификация действий групп
• Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения

Неделя 7. Коммутаторы и коммутант

• Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами
• Коммутант симметрической и полной линейной групп

Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность

• Прямые и полупрямые произведения групп, расширения
• Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы

Неделя 9. p-группы и теоремы Силова

• p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка
• Теоремы Силова с доказательствами

Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями

• Свободные группы, соотношения в группах
• Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4

Неделя 11. Геометрические примеры групп

• Группы кос и их задание образующими и соотношениями
• Кокстеровское задание групп перестановок
• Группы, порожденные отражениями

Неделя 12. Классификация групп малых порядков

• Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел
• Классификация групп порядка 8 и 12
• Классификация простых групп порядка 60

Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзамен

Итогами курса станет умение обучающихся владеть терминологией и базовыми фактами теории групп, а также умение применять методы теории групп в различных областях математики и ее приложениях.

ОПК-1. Способен применять фундаментальные знания, полученные в области математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности.

ПК-1. Способен демонстрировать базовые знания математических и естественных наук, основ программирования и информационных технологий.

В результате освоения курса студент должен знать:

• основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп;
• тенденции развития теории групп.

В результате освоения курса студент должен уметь:

• применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем;
• использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии;
• применять методы теории групп в различных областях математики.

В результате освоения курса студент должен владеть понятийным аппаратом.