наверх

Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

 width=
Курс уже начался
Запись на курс закрыта
Подпишитесь на новости и узнайте дату следующего запуска
  • 13 недель

    длительность курса

  • 2 зачётных единицы

    для зачета в своем вузе

В настоящем курсе детально обсуждаются как основные понятия и важнейшие факты общей теории групп, так и несколько более глубоких результатов, относящихся к арифметическим свойствам и структуре конечных групп, заданию групп образующими и соотношениями и действиям групп. Кроме теоретического материала и краткого обсуждения истории и приложений, все эти темы будут поддержаны большим количеством тщательно подобранных задач и упражнений различного уровня трудности для самостоятельной работы.

О курсе

Теория групп, состоящая в изучении симметрий различных объектов, возникающих в природе, математике, науке и искусстве, стала в XIX—XX веках одним из центральных разделов математики. Сегодня она имеет огромное и все возрастающее прикладное значение (кристаллография, физика ядер и элементарных частиц, физика твердого тела, квантовая химия, обработка сигналов, криптография и теория кодирования и т.д.).

Курс адресован двум аудиториям. С одной стороны, он содержит весь материал, обычно включаемый в общие курсы алгебры, читаемые на 1—2 курсе студентам математических специальностей (математика, прикладная математика,теоретическая информатика). Он покрывает все относящиеся к теории групп потребности других математических курсов и может рассматриваться как один из необходимых модулей для получения общематематического образования. С другой стороны, в силу прикладного значения, знакомство с основами теории групп абсолютно необходимо многим физикам, химикам, геологам и инженерам, и настоящий курс должен дать им возможность ознакомиться с необходимыми разделами теории групп без прохождения полного курса алгебры для математиков.

Формат

Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов. Курс состоит из:

  1. 20 часовых лекций
  2. подробного электронного конспекта 300—400 страниц
  3. примерно 500—600 упражнений и задач разного уровня сложности
  4. тестов и финального экзамена

Требования

Для успешного освоения курса необходимы знания основ математики на уровне базовой школьной программы.

Программа курса

Неделя 1. Вводная лекция
Неделя 2. Основные определения и примеры
  • Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп;
  • Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы;
  • Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа.
Неделя 3.
  • Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса;
  • Нормальные подгруппы и фактор-группы;
  • Классы сопряженности.
Неделя 4. Гомоморфизмы групп
  • Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме;
  • Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов.
Неделя 5. Группы перестановок
  • Симметрическая группа, циклы, транспозиции;
  • Знак перестановки и знакопеременная группа.
Неделя 6. Действия групп на множестве
  • Определение и примеры действий групп;
  • Орбита, стабилизатор, неподвижные точки;
  • Классификация действий групп;
  • Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения.
Неделя 7. Коммутаторы и коммутант
  • Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами;
  • Коммутант симметрической и полной линейной групп.
Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность
  • Прямые и полупрямые произведения групп, расширения;
  • Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы.
Неделя 9. p-группы и теоремы Силова
  • p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка;
  • Теоремы Силова с доказательствами.
Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями
  • Свободные группы, соотношения в группах;
  • Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4.
Неделя 11. Геометрические примеры групп
  • Группы кос и их задание образующими и соотношениями;
  • Кокстеровское задание групп перестановок;
  • Группы, порожденные отражениями.
Неделя 12. Классификация групп малых порядков
  • Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел;
  • Классификация групп порядка 8 и 12;
  • Классификация простых групп порядка 60.
Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзамен

Результаты обучения

Итогами курса станут умение обучающихся владеть терминологией и базовыми фактами теории групп, а также умение применять методы теории групп в различных областях математики и ее приложениях.

Формируемые компетенции

В результате освоения курса студент должен будет:

  1. Знать:
    • основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп
    • тенденции развития теории групп
  2. Уметь:
    • применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем
    • использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии
    • применять методы теории групп в различных областях математики

Вавилов Николай Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор
Должность: профессор бакалавриата "Математика", СПбГУ

Смирнов Станислав Константинович

Профессор, лауреат Филдсовской премии
Должность: руководитель лаборатории им. П.Л. Чебышева, СПбГУ

Антипов Михаил Александрович

Кандидат физико-математических наук
Должность: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел, СПбГУ

Лавренов Андрей Валентинович


Должность: инженер-исследователь кафедры высшей алгебры и теории чисел, СПбГУ

Лузгарев Александр Юрьевич

Кандидат физико-математических наук
Должность: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел, СПбГУ

Петров Виктор Александрович

Кандидат физико-математических наук
Должность: старший научный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева, СПбГУ

Пименов Константин Игоревич

Кандидат физико-математических наук
Должность: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел, СПбГУ

Синчук Сергей Сергеевич

Кандидат физико-математических наук
Должность: постдок лаборатории им. П.Л.Чебышева, СПбГУ

Смоленский Андрей Вадимович

Кандидат физико-математических наук
Должность: ассистент кафедры высшей алгебры и теории чисел, СПбГУ

Ставрова Анастасия Константиновна

Кандидат физико-математических наук
Должность: научный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева, СПбГУ

Степанов Алексей Владимирович

Доктор физико-математических наук
Должность: доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел, СПбГУ

Щеголев Александр Вячеславович

Кандидат физико-математических наук
Должность: ассистент кафедры высшей алгебры и теории чисел СПбГУ

сертификат об окончании курса

Сертификат

Похожие курсы